Question

16．已知：在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，B，C兩點(diǎn)到直線AD的距離相等．
（1）如圖1，若△ABC是等腰三角形，AB=AC，則點(diǎn)D的位置在點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)；
（2）如圖2，若△ABC是任意一個(gè)銳角三角形，猜想點(diǎn)D的位置是否發(fā)生變化，請(qǐng)補(bǔ)全圖形并加以證明；
（3）如圖3，當(dāng)△ABC是直角三角形，∠A=90°，并且點(diǎn)D滿足（2）的位置條件，用等式表示線段AB，AC，AD之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，根據(jù)線段的中點(diǎn)即可解答；
（2）點(diǎn)D的位置沒(méi)有發(fā)生變化；作BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F，證明△BED≌△CFD，得到BD=DC．即點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)；
（3）AB，AC，AD之間的數(shù)量關(guān)系為AC²+AB²=4AD²．如圖2，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)H使DH=AD，連接HC．證明△ABD≌△HCD，得到∠1=∠3，AB=CH．再證明∠ACH=90°，得到AC²+CH²=AH²．由DH=AD，得到AC²+AB²=（2AD）²．即可解答．

解答 解：（1）∵點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，
∴BD=CD，
故答案為：點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)；
（2）點(diǎn)D的位置沒(méi)有發(fā)生變化，
證明：如圖1，作BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F，

∵BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F，
∴∠3=∠4=90°，
在△BED和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠3=∠4}\\{BE=CF}\end{array}\right.$
∴△BED≌△CFD．
∴BD=DC．即點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)．
（3）AB，AC，AD之間的數(shù)量關(guān)系為AC²+AB²=4AD²．
證明：如圖2，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)H使DH=AD，連接HC．

∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，
∴BD=DC．
 在△ABD和△HCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠5=∠4}\\{AD=HD}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△HCD．
∴∠1=∠3，AB=CH．
∵∠A=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∴∠2+∠3=90°．
∴∠ACH=90°．
∴AC²+CH²=AH²．
又∵DH=AD，
∴AC²+AB²=（2AD）²．
∴AC²+AB²=4AD²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理、勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)建全等三角形．