Question

13．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，y），AB⊥x軸于點(diǎn)B，sin∠OAB=$\frac{3}{5}$，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象的一支經(jīng)過(guò)AO的中點(diǎn)C，且與AB交于點(diǎn)D．
（1）求反比例函數(shù)解析式；
（2）如圖2，若函數(shù)y=3x與y=$\frac{k}{x}$的圖象的另一支交于丁點(diǎn)M，求三角形OMB與四邊形OCDB的面積的比．

Answer 1

分析 （1）在RT△AOB中，根據(jù)sin∠OAB=$\frac{OB}{OA}$求出OA，再求出點(diǎn)C坐標(biāo)即可解決問(wèn)題．
（2）利用方程組求出點(diǎn)M坐標(biāo)，分別求出三角形OMB與四邊形OCDB的面積即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）在RT△AOB中，∵0B=6，∠AB0=90°，
∴sin∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{3}{5}$，
∴OA=10，AB=$\sqrt{O{A}^{2}-O{B}^{2}}$=8，
∴點(diǎn)A再把（6，8），
∵點(diǎn)C是OA中點(diǎn)，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（3，4），
∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象的一支經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，
∴k=12，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{12}{x}$．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{12}{x}}\\{y=3x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-6}\end{array}\right.$，
∵點(diǎn)M在第三象限，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)（-2，-6），
∵點(diǎn)D坐標(biāo)（6，2），
∴S_△OBM=$\frac{1}{2}$×6×6=18，S_{四邊形OBDC}=S_△AOB-S_△ACD=$\frac{1}{2}$×6×8-$\frac{1}{2}$×6×3=15，
∴三角形OMB與四邊形OCDB的面積的比=18：15=6：5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)利用方程組求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考常考題型．