Question

2．如圖，PQ為兩圓的公共弦，M為PQ上一點(diǎn)，AB、CD分別是兩圓的弦且它們相交于M，求證：A、C、B、D四點(diǎn)共圓．

Answer 1

分析 順次連接A、C、B、D，由相交弦定理得出MA•MB=MC•MD，得出$\frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MB}$，再由對(duì)頂角相等證出△AMC∽△DMB，得出∠ACM=∠DBM，即可得出A、C、B、D四點(diǎn)共圓．

解答 證明：順次連接A、C、B、D，如圖所示：
∵PQ為兩圓的公共弦，
∴由相交弦定理得：MA•MB=MP•MQ，MC•MD=MP•MQ，
∴MA•MB=MC•MD，
∴$\frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MB}$，
又∵∠AMC=∠DMB，
∴△AMC∽△DMB，
∴∠ACM=∠DBM，
∴A、C、B、D四點(diǎn)共圓．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四點(diǎn)共圓的證明方法、相交弦定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握相交弦定理，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．