Question

如圖，已知點(diǎn)（1，3）在函數(shù)（x＞0）的圖象上，矩形ABCD 的邊BC在x軸上，E是對角線AC、BD的交點(diǎn)，函數(shù)（k＞0）的圖象又經(jīng)過A、E兩點(diǎn)，請解答下列問題：
（1）求k的值；
（2）如果點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3，求點(diǎn)C的橫坐標(biāo)；
（3）如果點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，且∠ABD=45°，求m的值．

Answer 1

解：（1）將點(diǎn)（1，3）代入（k＞0），可得：3=，
解得：k=3．
故k的值為3．

（2）過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，
∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3，點(diǎn)E在反比例函數(shù)y=上，
∴EF=1，OF=3，
又∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=2EF=2，即點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2，
∴OB=，
∴BF=CF=OF-OB=，
∴OC=OF+CF=3+=，
即點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為．

（3）∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)E在反比例函數(shù)y=上，
∴EF=，OF=m，
又∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=2EF=，即點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，
∴OB=，
∴BF=CF=OF-OB=m-=，
∴BC=m，
又∵∠ABD=45°，
∴AB=AD=BC，即=m，
解得：m₁=，m₂=-（舍去）．
故m的值為．
分析：（1）將點(diǎn)（1，3）代入反比例函數(shù)關(guān)系式，可得出k的值；
（2）過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，根據(jù)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3，可得EF=1，OF=3，由矩形的性質(zhì)可得AB=2EF=2，求出OB，可得出BF、CF，繼而得出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)．
（3）根據(jù)（2）的思路求出BC的長度，由AB=BC建立方程，解出即可得出答案．
點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合，涉及了矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的知識，綜合考察的知識點(diǎn)較多，解答本題關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想及方程思想的綜合運(yùn)用．