Question

5．拋物線y=ax²+bx-8與x軸交于A、B，與y軸交于C，D為拋物線的頂點(diǎn)，AB=2，D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若H為射線DA與y軸的交點(diǎn)，N為射線AB上一點(diǎn)，設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，△DHN的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，G為線段DH上一點(diǎn)，過G作y軸的平行線交拋物線于F，Q為拋物線上一點(diǎn)，連接GN、NQ、AF、GF，若NG=NQ，NG⊥NQ，且∠AGN=∠FAG，求GF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）如圖1中，連接OD，根據(jù)S=S_△OND+S_△ONH-S_△OHD計(jì)算即可．
（3）如圖2中，延長(zhǎng)FG交OB于M，只要證明△MAF≌△MGB，得FM=BM．設(shè)M（m，0），列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-8與x軸交于A、B，與y軸交于C，D為拋物線的頂點(diǎn)，AB=2，D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，
∴A（2，0），B（4，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b-8=0}\\{16a+4b-8=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²+6x-8；

（2）如圖1中，連接OD．拋物線頂點(diǎn)D坐標(biāo)（3，1），H（0，-2）．

∵S=S_△OND+S_△ONH-S_△OHD=$\frac{1}{2}$×t×1+$\frac{1}{2}$×t×2-$\frac{1}{2}$×2×3=$\frac{3}{2}$t-3．
∴S=$\frac{3}{2}$x-3；

（3）如圖2中，延長(zhǎng)FG交OB于M．

∵OH=OA，
∴∠OAH=∠OHA=45°，
∵FM∥OH，
∴∠MGA=∠OHA=∠MAG=45°，
∴MG=MA，
∵∠FAG=∠NGA，
∴∠MAF=∠MGN，
在△MAF和△MGN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMF=∠GMB}\\{AM=MG}\\{∠MAF=∠MGB}\end{array}\right.$，
∴△MAF≌△MGB，
∴FM=BM．設(shè)M（m，0），
∴-（-m²+6m-8）=4-m，
解得m=1或4（舍棄），
∴FM=3，MG=1，
∴GF=FM-MG=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用分割法求面積．學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．