Question

如圖，在?ABDO中，已知A、D兩點的坐標分別為A（

3

，

3

），D（2

3

，0）．將?ABDO向左平移

3

個單位，得到四邊形A′B′D′O′．拋物線C經(jīng)過點A′、B′、D′．
（1）在圖中作出四邊形A′B′D′O′，并寫出它的四個頂點坐標；
（2）在拋物線C上是否存在點P，使△ABP的面積恰好為四邊形A′B′D′O′的面積的一半？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）平行四邊形整體向左平移，因此四點的橫坐標都加減去

3

即可得出平移后平行四邊形四頂點的坐標．
（2）先根據(jù)A′、B′、D′的坐標求出拋物線的解析式．然后求出平行四邊形的面積，即可得出三角形ABP的面積，AB的長已知，那么可據(jù)此求出P點到AB的距離，也就能求出P點的縱坐標，將其代入拋物線解析式中即可求出P點的坐標．

解答：解：（1）作出平移后的四邊形A′B′D′O′，
頂點坐標分別為A′（0，

3

）、B′（2

3

，

3

）、D′（

3

，0）、O′（-

3

，0）．


（2）由題意可設(shè)拋物線C的解析式為y=ax²+bx+

3

，
則

3 =a•(2 3 )2+b•2 3 + 3 0=a•( 3 )2+b• 3 + 3

，
解得a=

3

3

，b=-2．
∴拋物線C的解析式為y=

3

3

x²-2x+

3

．
∵四邊形A′B′D′O′是平行四邊形，
∴它的面積為O′D′×OA′=2

3

×

3

=6．
假設(shè)存在點P，則△ABP的面積為3．
設(shè)△ABP的高為h，則

1

2

×AB×h=

1

2

×2

3

×h=3，
得h=

3

．
即點P到AB的距離為

3

，
∴P點的縱坐標為0或2

3

．
∴當(dāng)P的縱坐標為0時，即有0=

3

3

x²-2x+

3

，
解得x₁=x₂=

3

．
當(dāng)P的縱坐標為2

3

時，即有2

3

=

3

3

x²-2x+

3

，
解得x=

3

-

6

，x=

3

+

6

．
因此存在滿足條件的點P，坐標為（

3

，0），（

3

-

6

，2

3

），（

3

+

6

，2

3

）．

點評：本題著重考查了平行四邊形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形面積的求法等知識點，綜合性強，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．