【題目】如圖所示,點(diǎn)P在矩形ABCD的對(duì)角線AC上,且不與點(diǎn)A,C重合,過點(diǎn)P分別作邊AB,AD的平行線,交兩組對(duì)邊于點(diǎn)E,F(xiàn)和點(diǎn)G,H.
(1)求證:△PHC≌△CFP;
(2)證明四邊形 PEDH和四邊形 PGBF都是矩形,并直接寫出它們面積之間的關(guān)系。
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析,面積相等.
【解析】試題分析:(1)由矩形的性質(zhì)得出對(duì)邊平行,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出相等的角,結(jié)合全等三角形的判定定理AAS即可得出△PHC≌△CFP;
(2)由矩形的性質(zhì)找出∠D=∠B=90°,再結(jié)合對(duì)邊互相平行即可證出四邊形PEDH和四邊形PFBG都是矩形,通過角的正切值,在直角三角形中表示出直角邊的關(guān)系,利用矩形的面積公式即可得出兩矩形面積相等.
試題解析:(1)∵四邊形ABCD為矩形,∴AB∥CD,AD∥BC.
∵PF∥AB,∴PF∥CD,∴∠CPF=∠PCH.
∵PH∥AD,∴PH∥BC,∴∠PCF=∠CPH.
在△PHC和△CFP中,∵∠CPF=∠PCH,PC=CP,∠PCF=∠CPH,∴△PHC≌△CFP(ASA).
(2)∵四邊形ABCD為矩形,∴∠D=∠B=90°.
又∵EF∥AB∥CD,GH∥AD∥BC,∴四邊形PEDH和四邊形PFBG都是矩形.
∵EF∥AB,∴∠CPF=∠CAB.
在Rt△AGP中,∠AGP=90°,PG=AGtan∠CAB.
在Rt△CFP中,∠CFP=90°,CF=PFtan∠CPF.
S矩形DEPH=DEEP=CFEP=PFEPtan∠CPF;
S矩形PGBF=PGPF=AGPFtan∠CAB=EPPFtan∠CAB.
∵tan∠CPF=tan∠CAB,∴S矩形DEPH=S矩形PGBF.
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【題目】如圖,在□ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AD,BC邊上,且AE=CF.求證:
(1)△ABE≌△CDF;
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