【題目】已知,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=2,AB=4,BC=5,在射線BC任取一點M,聯(lián)結(jié)DM,作∠MDN=∠BDC,∠MDN的另一邊DN交直線BC于點N(點N在點M的左側(cè)).
(1)當(dāng)BM的長為10時,求證:BD⊥DM;
(2)如圖(1),當(dāng)點N在線段BC上時,設(shè)BN=x,BM=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出它的定義域;
(3)如果△DMN是等腰三角形,求BN的長.
【答案】(1)見解析;(2)y=,0≤x<4;(3)BN=0或1或2﹣4.
【解析】試題分析:
(1)如圖1,過點D作DG⊥BC于G,由已知易得四邊形ABGD是矩形,則BG=AD=2,DG=AB=4,由BC=5可得CG=3,由勾股定理可得CD=5,結(jié)合BM=10可得CM=BM-BC=5=BC=CD,由此可得△BDM是直角三角形,從而可得BD⊥DM;
(2)如圖1,由(1)中CD==5=BC可得∠BDC=∠DBC結(jié)合∠MDN=∠BDC即可得到∠DBC=∠MDN,再結(jié)合∠BMD=∠DMN可得△MDN∽△MBD,從而可得DM2=BM×MN結(jié)合DM2=DG2+MG2=16+(y﹣2)2,MN=BM﹣BN=y﹣x,可得16+(y﹣2)2=y(y﹣x),整理可得y=,結(jié)合點N在線段BC上可得x的取值范圍是:;
(3)分:Ⅰ、DN=DM;II、DM=MN;III、MN=DN三種情況結(jié)合已知條件和前面所得結(jié)論進行分析計算即可.
試題解析:
(1)如圖1,過點D作DG⊥BC于G,
∴∠BGD=90°,
∵∠A=90°,梯形ABCD中,AD∥BC,
∴∠ABC=90°,
∴四邊形ABGD是矩形,BG=AD=2,DG=AB=4,
∵BC=5,
∴CG=BC﹣BG=3,
在Rt△CDG中,根據(jù)勾股定理得,CD=5,
∵BM=10,
∴CM=BM﹣BC=5=BC=CD,
∴△BDM是直角三角形,
∴BD⊥DM;
(2)由(1)知,CD=5=BC,
∴∠BDC=∠DBC,
∵∠MDN=∠BDC,
∴∠DBC=∠MDN,
∵∠BMD=∠DMN,
∴△MDN∽△MBD,
∴,
∴DM2=BM×MN
在Rt△DMG中,根據(jù)勾股定理得,DM2=DG2+MG2=16+(y﹣2)2,
∵MN=BM﹣BN=y﹣x,
∴16+(y﹣2)2=y(y﹣x),
∴y=,
又∵點N在線段BC上,
∴0≤x<4;
(3)∵△DMN是等腰三角形,
∴Ⅰ、當(dāng)DN=DM時,如圖1,NG=MG,
∵NG=2﹣x,MG=y﹣2,
∴2﹣x=y﹣2,
∴x+y=4②,
由(2)知,y=,
∴y(4﹣x)=20①
聯(lián)立①②,解得x=﹣﹣4(舍)或x=﹣4,
即:BN=-4,
Ⅱ、當(dāng)DM=MN時,
∴∠MDN=∠DNM,
∵∠CBD=∠MDN,
∴∠CBD=∠DNM,
∴點N與點B重合,
∴BN=0,
Ⅲ、當(dāng)MN=DN時,
∴∠MDN=∠DMN,
∵∠DBC=∠MDN,
∴∠DBC=∠DMN,
∴DM=BD,
在Rt△ABD中,根據(jù)勾股定理得,BD2=AD2+AB2=20,
∵DM2=16+(BM﹣2)2,
∴20=16+(BM﹣2)2,
∴BM=0(舍去)或BM=4,
∴如圖2,
點M在線段BC上,
同(2)的方法得,16+(BM﹣2)2=BM(BM﹣BN)③,
∵MN=BN+BM④,
聯(lián)立③④解得,BN=1.
即:BN=0或1或﹣4.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知正方形ABCD的邊長為3,E、F分別是AB、BC邊上的點,且∠EDF=45°,將△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△DCM.若AE=1,則FM的長為 .
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,點D是BC上一動點,連接AD,將△ACD沿AD折疊,點C落在點E處,連接DE交AB于點F,當(dāng)△DEB是直角三角形時,DF的長為_____.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中(如圖),已知拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A(2,2),對稱軸是直線x=1,頂點為B.
(1)求這條拋物線的表達(dá)式和點B的坐標(biāo);
(2)點M在對稱軸上,且位于頂點上方,設(shè)它的縱坐標(biāo)為m,聯(lián)結(jié)AM,用含m的代數(shù)式表示∠AMB的余切值;
(3)將該拋物線向上或向下平移,使得新拋物線的頂點C在x軸上.原拋物線上一點P平移后的對應(yīng)點為點Q,如果OP=OQ,求點Q的坐標(biāo).
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖在△ABC中,AB=AC,點D、E、F分別在邊BC、AB、AC上,且∠ADE=∠B,∠ADF=∠C,線段EF交線段AD于點G.
(1)求證:AE=AF;
(2)若,求證:四邊形EBDF是平行四邊形.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AT是經(jīng)過點A的切線,弦CD垂直AB于P點,Q為線段CP的中點,連接BQ并延長交切線AT于T點,連接OT.
(1)求證:BC∥OT;
(2)若⊙O直徑為10,CD=8,求AT的長;
(3)延長TO交直線CD于R,若⊙O直徑為10,CD=8,求TR的長.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線AB:yx+4交x軸于點A,交y軸于點B.直線CD:yx﹣1與直線AB相交于點M,交x軸于點C,交y軸于點D.
(1)直接寫出點B和點D的坐標(biāo);
(2)若點P是射線MD上的一個動點,設(shè)點P的橫坐標(biāo)是x,△PBM的面積是S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系;
(3)當(dāng)S=20時,平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點E,使以點B、E、P、M為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出所有符合條件的點E的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某農(nóng)戶種植一種經(jīng)濟作物,總用水量y(米3)與種植時間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系式圖
(1)第20天的總用水量為多少米3?
(2)當(dāng)x≥20時,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)種植時間為多少天時,總用水量達(dá)到7000米3?
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com