Question

如圖，等腰直角三角形ABC中，AB=AC=

2

cm，P在BC上，以C為圓心、PC為半徑畫(huà)弧交邊AC于D，以B為圓心、PB為半徑畫(huà)弧交邊AB于E．設(shè)PB=xcm，圖中陰影部分的面積為ycm²（π取3）．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)P在什么位置時(shí)，y有最大值？最大值是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：扇形面積的計(jì)算,二次函數(shù)的最值,等腰直角三角形

專(zhuān)題：

分析：（1）利用扇形面積以及等腰直角三角形的性質(zhì)得出面積即可；
（2）利用三角形邊長(zhǎng)得出自變量x的取值范圍；
（3）利用（1）中所求求出面積最值即可．

解答：解：（1）∵AB=AC=

2

cm，
∴BC=2cm，
∵設(shè)PB=xcm，
∴PC=（2-x）cm，
∴y=

1

2

×

2

×

2

-

45π•x2

360

-

45π•(2-x)2

360

=1-

πx2

8

-

π(2-x)2

8

=1-

π(2-2x+x2)

4

≈-

3

4

x²+

3

2

x-

1

2

；

（2）∵以B為圓心、PB為半徑畫(huà)弧交邊AB于E，
∴0≤x≤

2

；

（3）∵y=-

3

4

x²+

3

2

x-

1

2

，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y_最大=

1

4

，
答：當(dāng)PB=1cm時(shí)，即為BC的中點(diǎn)，y有最大值，最大值是1cm²．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及扇形面積求法和二次函數(shù)的最值求法，根據(jù)已知得出y與x的函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．