Question

從甲，乙兩題中選做一題，如果兩題都做，只以甲題計(jì)分．
題甲：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)F，BE的延長(zhǎng)線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
（1）求證：

GE

GB

=

AE

BC

；
（2）若GE=2，BF=3，求線段EF的長(zhǎng)．
題乙：如圖，反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象，當(dāng)-4≤x≤-1時(shí)，-4≤y≤-1．
（1）求該反比例函數(shù)的解析式；
（2）若M，N分別在反比例函數(shù)圖象的兩支上，請(qǐng)指出什么情況下線段MN最短（不需證明），并求出線段MN長(zhǎng)度的取值范圍．

Answer 1

分析：甲：（1）因?yàn)锳D∥BC，所以△GED∽△GBC，所以兩三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例；又點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，AE=ED．此題得證
（2）AD∥BC還可以得到△AEF∽△CBF，又AE=ED，通過(guò)等量代換即可得到GE、GB、EF、FB之間的關(guān)系．
乙：（1）圖象經(jīng)過(guò)A（-1，-4），可用待定系數(shù)法求解．
（2）考慮經(jīng)過(guò)原點(diǎn)并且在同一直線上，也就成了線段MN．

解答：甲題：
（1）證明：∵AD∥BC
∴△GED∽△GBC（2分）
∴

GE

GB

=

ED

BC

（3分）
又∵點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)
∴AE=ED
∴

GE

GB

=

AE

BC

（4分）

（2）解：∵AD∥BC
∴△AEF∽△CBF
∴

AE

BC

=

EF

BF

（5分）
由（1）知

GE

GB

=

AE

BC

∴

EF

BF

=

GE

GB

（6分）
設(shè)EF=x，則GB=5+x，
則有

x

3

=

2

5+x

（8分）
即x²+5x-6=0
解得：x=1或x=-6，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=1或x=-6都是原方程的根，但x=-6不合題意，舍去．
故EF的長(zhǎng)為1．（9分）

乙題：
解：（1）因?yàn)榉幢壤�函�?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，-4）
有-4=

k

-1

（2分）
∴k=4（3分）
所以反比例函數(shù)的解析式為y=

4

x

．（4分）

（2）當(dāng)M，N為-，三象限角平分線與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)時(shí)，線段MN最短．（5分）
將y=x代入y=

4

x

，
解得

x=2 y=2

x=-2 y=-2

，
即M（2，2），N（-2，-2）．（6分）
∴OM=2

2

．（7分）
則MN=4

2

．（8分）
又∵M(jìn)，N為反比例函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)，
由圖象特點(diǎn)知，線段MN無(wú)最大值，即MN≥4

2

．（9分）

點(diǎn)評(píng)：題甲：主要考查相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)得AE=ED是突破口
題乙：主要考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，猜想時(shí)首選經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．