【題目】 如圖,圓O是以AB為直徑的△ABC的外接圓,D是劣弧的中點(diǎn),連AD并延長(zhǎng)與過C點(diǎn)的切線交于點(diǎn)P,OD與BC相交于E;
(1)求證:OE=AC;
(2)求證:;
(3)當(dāng)AC=6,AB=10時(shí),求切線PC的長(zhǎng).
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)PC=15.
【解析】
(1)由于D是的中點(diǎn),利用垂徑定理的推論,可證OD⊥BC,而AC⊥BC,故OD∥AC,又O是AB中點(diǎn),利用平行線分線段成比例定理的推論,可得BE:CE=OB:OA,從而可知E是BC中點(diǎn),即OE是△ABC的中位線,利用三角形中位線定理可證OE=AC;
(2)連接CD,連接CO并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)F,連接DF,先證明∠PCD=∠CAP,再利用兩組角對(duì)應(yīng)相等,證明△PCD∽△PAC,得出,結(jié)合CD=BD利用等式性質(zhì)可證;
(3)連接BD,由AC=6,AB=10,利用勾股定理可求BC,進(jìn)而求出BE、OE、DE,再利用勾股定理可求BD2、AD2,從而解出AD、BD、CD,結(jié)合(2)中的結(jié)論,利用比例性質(zhì),可求出DP、AP,那么可求CP2,從而求出CP.
(1)證明:∵AB為直徑,
∴∠ACB=90°,
∴AC⊥BC,
又D為中點(diǎn),
∴OD⊥BC,OD∥AC,
又O為AB中點(diǎn),
∴E為BC的中點(diǎn),即OE為△ABC的中位線,
∴;
(2)證明:連接CD,
連接CO并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)F,連接DF,
∵PC為切線,
∴∠PCD+∠DCO==90°,∠DCO+∠F=90°,
∴∠PCD=∠F,又∠F=∠CAP,
∴∠PCD=∠CAP,
又∠P為公共角,
∴△PCD∽△PAC,
∴,
∴
又CD=BD,
∴;
(3)解:連接BD,∵AC=6,AB=10,
∴BC=8,BE=4,OE=3,
∴DE=2,
∴BD2=DE2+BE2=20,∴BD=2,
∴AD2=AB2-BD2=80,∴AD=4,
∴AD=4,
又D為中點(diǎn),∴CD=BD=2,
由(2),
∴,
由(1)中△PCD∽△PAC得,
∴CP2=DPAP=,
∴PC=15.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx-5的經(jīng)過點(diǎn)(-2,-15)、點(diǎn)(2,1).
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)請(qǐng)用配方法求拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo);
(3)已知點(diǎn)M坐標(biāo)為(2,—1).設(shè)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在拋物線和對(duì)稱軸上,當(dāng)以A,P,Q,M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,位于第二象限的點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上,點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,直線經(jīng)過點(diǎn),且與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn).
(1)當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-2,點(diǎn)坐標(biāo)是時(shí),分別求出的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)是點(diǎn)的橫坐標(biāo)的4倍,且的面積是16,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)在平面直角坐標(biāo)系中A(5,0),B為y軸上任意一點(diǎn),以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)作等腰Rt△ABC(點(diǎn)A、B、C按順時(shí)針方向排列),請(qǐng)?zhí)骄奎c(diǎn)C是否在一確定的直線上;
(2)在平面直角坐標(biāo)系中,A(﹣1,0),B(4,2m),連接AB,將AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到CB,請(qǐng)?zhí)骄奎c(diǎn)C是否在一確定的直線上.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線過點(diǎn),且與直線交于B、C兩點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)D為拋物線上位于直線上方的一點(diǎn),過點(diǎn)D作軸交直線于點(diǎn)E,點(diǎn)P為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)線段的長(zhǎng)度最大時(shí),求的最小值;
(3)設(shè)點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn),在y軸上是否存在點(diǎn)Q,使?若存在,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=3cm.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以cm/s的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B.動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā),以1cm/s的速度沿折線ACCB方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B.設(shè)△APQ的面積為y(cm2).運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s),則下列圖象能反映y與x之間關(guān)系的是 ( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,,,以為直徑作半圓,圓心為點(diǎn);以點(diǎn)為圓心,為半徑作,過點(diǎn)作的平行線交兩弧于點(diǎn)、,則圖中陰影部分的面積是( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在菱形ABCD中,AB=,tan∠ABC=2,點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著射線DA的方向勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒),將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α(α=∠BCD),得到對(duì)應(yīng)線段CF.
(1)求證:BE=DF;
(2)當(dāng)t= 秒時(shí),DF的長(zhǎng)度有最小值,最小值等于 ;
(3)如圖2,連接BD、EF、BD交EC、EF于點(diǎn)P、Q,當(dāng)t為何值時(shí),△EPQ是直角三角形?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC的點(diǎn)A,C在⊙O上,⊙O與AB相交于點(diǎn)D,連接CD,∠A=30°,DC=.
(1)求圓心O到弦DC的距離;
(2)若∠ACB+∠ADC=180°,求證:BC是⊙O的切線.
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