Question

已知拋物線y=

1

2

x2-x+k與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
（1）求k的取值范圍；
（2）設(shè)拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（-1，0），求此拋物線的解析式，并求出與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，拋物線與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在y軸的正半軸上，且以A、O、D為頂點(diǎn)的三角形和以B、O、C為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與相對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式的關(guān)系即可解答；
（2）將A（-1，0）代入y=

1

2

x2-x+k即可求出k的值，從而得到拋物線的解析式．
（3）根據(jù)題意，分△OCB∽△OAD和△OCB∽△ODA兩種情況討論．

解答：解：（1）∵拋物線y=

1

2

x2-x+k與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴△＞0，
∴（-1）²-4×

1

2

k＞0，
∴解得k＜

1

2

；

（2）將A（-1，0）代入y=

1

2

x2-x+k得，

1

2

+1+k=0，
解得k=-

3

2

，
則函數(shù)解析式為y=

1

2

x²-x-

3

2

．
當(dāng)y=0時(shí)，

1

2

x²-x-

3

2

=0，
解得x₁=-1，x₂=3．
于是B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；

（3）設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，y），y＞0，
因以A、O、D為頂點(diǎn)的三角形和以B、O、C為頂點(diǎn)的三角形相似，
則①△OCB∽△OAD，

OC

OA

=

OB

OD

，
即

2

1

=

3

OD

，
解得OD=

3

2

，故D（0，

3

2

）；
②△OCB∽△ODA，

OC

OB

=

OD

OA

，
即OD=

2

3

，
故點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（0，

3

2

）或（0，

2

3

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及拋物線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)等內(nèi)容，要注意分類(lèi)討論．