Question

（1）探究填空：如果在?ABCD中AM=

1

2

AB，CN=

1

2

CD，那么四邊形AMCN是

平行四邊形

；
①當(dāng)AM=

1

3

AB，CN=

1

3

CD時(shí)，四邊形AMCN是

平行四邊形

；
②如果AM=

1

m

AB，CN=

1

m

CD（m＞1）時(shí)，四邊形AMCN是

平行四邊形

；
（2）你能得出一個(gè)一般性的結(jié)論吧？如果能請(qǐng)你寫出一般性的結(jié)論，并證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)（平行四邊形的對(duì)邊平行且相等）推知AB=CD、四邊形AMCN的對(duì)邊AM∥CN；然后根據(jù)已知條件知四邊形AMCN的對(duì)邊AM=CN；最后由平行四邊形的判定定理（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）證得四邊形AMCN是平行四邊形；
（2）根據(jù)（1）的證明過程知：在同一平面內(nèi)，一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

解答：解：（1）∵在?ABCD中，AB

∥

.

CD，
∴在四邊形AMCN中，AM∥CN；
又∵AM=

1

2

AB，CN=

1

2

CD，
∴AM=CN，
∴四邊形AMCN是平行四邊形；
①∵在?ABCD中，AB

∥

.

CD，
∴在四邊形AMCN中，AM∥CN；
又∵AM=

1

3

AB，CN=

1

3

CD，
∴AM=CN，
∴四邊形AMCN是平行四邊形；
②∵在?ABCD中，AB

∥

.

CD，
∴在四邊形AMCN中，AM∥CN；
又∵AM=

1

m

AB，CN=

1

m

CD，
∴AM=CN，
∴四邊形AMCN是平行四邊形；

（2）在同一平面內(nèi)，一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
證明：如圖所示，AB∥CD且AB=CD．
連接AC，則∠BAC=∠DCA，
在△ABC和△CDA中，

AB=CD(已知) ∠BAC=∠DCA AC=CA(公共邊)

，
∴△ABC≌△CDA（SAS），
∴∠BCA=∠DAC（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等），
∴AD∥BD （內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），
∴四邊形ABCD是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定．平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．