Question

已知：如圖，等邊△AOB的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使△OAP是等腰三角形？若存在，直接把符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)都寫出來；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，因?yàn)椤鰽OB是等邊三角形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0）所∠AOB=60°，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出AD及OD的長，進(jìn)而可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AB的函數(shù)表達(dá)式即可；
（3）設(shè)P（0，y），再分AP=OA，OP=OA，OP=AP三種情況進(jìn)行討論．

解答：解：（1）過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，
∵△AOB是等邊三角形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），
∴∠AOB=60°，OB=OA=AB=4，
∴OD=

1

2

OB=2，AD=OA•sin60°=4×

3

2

=2

3

，
∴A（2，2

3

），
∴k=2×2

3

=4

3

；

（2）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵A（2，2

3

），B（4，0），
∴

2k+b=2 3 4k+b=0

，解得

k=- 3 b=4 3

，
∴直線AB的解析式為：y=-

3

x+4

3

；

（3）設(shè)P（0，y），
當(dāng)AP=OA時(shí)，2²+（2

3

-y）²=4²，解得y=4

3

，此時(shí)P₁（0，4

3

）；
當(dāng)OP=OA時(shí)|y|=4，解得y=±4，故P₂（0，-4），P₃（0，4）；
當(dāng)OP=AP時(shí)，如圖所示，
∵BE是OA的垂直平分線，
∴OE=

1

2

OA=2，
∵∠AOB=60°，
∴∠AOP=30°，
∴OP=

OE

cos30°

=

2

3 2

=

4 3

3

，即P₄（0，

4 3

3

）．
總上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為P₁（0，4

3

），P₂（0，-4），P₃（0，4），P₄（0，

4 3

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．