Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，l是AD的垂直平分線，交AD于點M，以腰AB為邊作正方形ABEF，EP⊥l于P．
求證：2EP+AD=2CD．

Answer 1

分析：首先作AH⊥BC于H，延長EP交AH于G，由l是AD的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可得AM=MD=

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AD，l∥AH，即可證得四邊形AHCD是矩形，繼而可得四邊形AGPM是矩形，然后利用AAS證得△ABH≌△EAG，則可得CD=GP+PE=

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AD+PE，繼而證得2EP+AD=2CD．

解答：證明：作AH⊥BC于H，延長EP交AH于G，
∵l是AD的垂直平分線，
∴AM=MD=

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AD，l∥AH，
又∵四邊形ABCD是直角梯形，
∴四邊形AHCD是矩形，
∴AH=CD，
∵PE⊥l，
∴EG⊥AH，
∴四邊形AGPM是矩形，
∴GP=AM=

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AD，
∴∠AHB=∠AGE=90°，
∴∠1+∠2=90°，
在正方形ABFE中，AB=AE，∠BAE=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△ABH和△EAG中，

∠1=∠3 ∠AHB=∠AGE AB=EA

，
∴△ABH≌△EAG（AAS），
∴AH=EG，
∴CD=GP+PE=

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AD+PE，
即2CD=AD+2PE．

點評：此題考查了直角梯形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．