Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E．

（1）若∠A=40°，求∠DBC的度數(shù)；
（2）若AE=6，△CBD的周長為20，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，

∴∠ABC=∠C=70°，

∵AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，

∴AD=BD，

∴∠ABD=∠A=40°，

∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=30°

（2）解：∵M(jìn)N垂直平分AB，

∴DA=DB，

∵BC+BD+DC=20，

∴AD+DC+BC=20，

∴AC+BC=20，

∵AB=2AE=12，

∴△ABC的周長=AB+AC+BC=12+20=32．

【解析】（1）由在△ABC中，AB=AC，∠A=42°，利用等腰三角形的性質(zhì)，即可求得∠ABC的度數(shù)，然后由AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可求得AD=BD，繼而求得∠ABD的度數(shù)，則可求得∠DBC的度數(shù)．（2）由△CBD的周長為20，推出AC+BC=20，根據(jù)AB=2AE=12，由此即可解決問題．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱：等邊對(duì)等角）才能正確解答此題．