如圖.等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,P為BC的中點(diǎn),小明拿著含45°角的透明三角形,使45°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P,且繞P旋轉(zhuǎn).
(1)如圖①:當(dāng)三角板的兩邊分別AB、AC交于E、F點(diǎn)時(shí),試說(shuō)明△BPE∽△CFP.
(2)將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖②,三角板兩邊分別交BA延長(zhǎng)線(xiàn)和邊AC于點(diǎn)EF.
探究1:△BPE與△CFP.還相似嗎?(只需寫(xiě)結(jié)論)
探究2:連接EF,△BPE與△EFP是否相似?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1)證明:∵在△ABC中,∠ A=90°,AB=AC,
∴∠B=∠C=45°.
∵∠EPC=∠EPF+∠FPC=∠B+∠BEP,∠EPF=45°
∴∠BEP=∠FPC,
∵∠B=∠C
∴△BPE∽△CFP(兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似).
(2)解:①△BPE∽△CFP;②△BPE與△PFE相似.
下面證明結(jié)論:
同(1),可證△BPE∽△CFP,得 CP:BE=PF:PE,而CP=BP,因此 BP:BE=PF:PE.
又因?yàn)椤螮BP=∠EPF,所以△BPE∽△PFE(兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似).
【解析】(1)找出△BPE與△CFP的對(duì)應(yīng)角,利用三角形一外角等于和它不相鄰的兩內(nèi)角和性質(zhì)列出等式,得出∠BPE=∠CFP,從而解決問(wèn)題;
(2)①小題同前可證,②小題可通過(guò)對(duì)應(yīng)邊成比例證明.
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