Question

已知△ABC為等腰三角形，由A點(diǎn)作BC邊的高恰好等于BC邊長(zhǎng)的一半，則∠BAC的度數(shù)為（　�。�

A．75°

B．90°

C．75°或90°

D．15°或75°或90°

Answer 1

分析：本題要分情況討論，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)來(lái)分析：①當(dāng)AD在三角形的內(nèi)部，②AD在三角形的外部以，③BC邊為等腰三角形的底邊三種情況．

解答：解：如下圖，分三種情況：①AB=BC，AD⊥BC，AD在三角形的內(nèi)部，
由題意知，AD=

1

2

BC=

1

2

AB，
∵sin∠B=

AD

AB

=

1

2

，
∴∠B=30°，∠C=

180°-∠B

2

=75°，
∴∠BAC=∠C=75°；
②AC=BC，AD⊥BC，AD在三角形的外部，
由題意知，AD=

1

2

BC=

1

2

AC，
∵sin∠ACD=

AD

AC

=

1

2

，
∴∠ACD=30°=∠B+∠CAB，
∵∠B=∠CAB，
∴∠BAC=15°；
③AC=BC，AD⊥BC，BC邊為等腰三角形的底邊，
由等腰三角形的底邊上的高與底邊上中線，頂角的平分線重合知，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
由題意知，AD=

1

2

BC=CD=BD，
∴△ABD，△ADC均為等腰直角三角形，
∴∠BAD=∠CAD=45°，
∴∠BAC=90°，
∴∠BAC的度數(shù)為90°或75°或15°，
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，及三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)；本題要分三種情況討論：前兩種情況為∠BAC為等腰三角形的底角，且AD在三角形內(nèi)部還是外部；第三種為∠BAC為等腰三角形的頂角；這是正確解答本題的關(guān)鍵．