我們知道二次函數(shù)的圖象是拋物線,它也可以這樣定義:如果一個動點M(x,y)到定A(0, )的距離與它到定直線y= -的距離相等,那么動點M形成的圖形就是拋物線(p>0),如圖。
(1)已知動點M(x,y)到定點A(0,4)的距離與到定直線y= -4的距離相等,請寫出動點M形成的拋物線的解析式。
(2)若(1)中求得的拋物線與一次函數(shù)相交于B、C兩點,求△OBC的面積。
(3)若點D的坐標是(1,8),在(1)中求得的拋物線上是否存在點P,使得PA+PD最短?若存在,求出點P的坐標,若不存在,請說明理由。
解:(1)根據(jù)定義可知:=4,p=8,  
故拋物線的解析式為= 16y
  
(2)畫出簡略示意圖如圖所示       
     ∴
分別過點B、C作BF⊥x軸于F,CE⊥x軸于E
  則   
    
(3)存在    
理由:畫簡略示意圖如圖所示,  
設(shè)點P到直線y= -4的距離為d,
由拋物線的定義可知:PA =d,       
則PA+ PD=d+PD,    
∴過點D作直線y= -4的垂線段,與拋物線的交點即為P點
將x=1代入中,求得點直d    
P(1, ),    
∴拋物線上存在點P(1,去),使得PA+ PD最短。
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相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

已知一個二次函數(shù)的圖象為拋物線C,點P(1,-4)、Q(5,-4)、R(3,0)在拋物線C上.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式.
(2)我們知道,與y=kx+b(即kx-y+b=0)可以表示直線一樣,方程x+my+n=0也可以表示一條直線,且對于直線x+my+n=0和拋物線y=ax2+bx+c(a≠0),方程組
x+my+n=0
y=ax2+bx+c
的解(x,y)作為點的坐標,所確定的點就是直線和拋物線的公共點,如果直線L:x+my+n=0過點M(1,0),且直線L與拋物線C有且只有一個公共點,求相應(yīng)的m,n的值.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•新華區(qū)一模)我們知道:根據(jù)二次函數(shù)的圖象,可以直接確定二次函數(shù)的最大(�。┲�;根據(jù)“兩點之間,線段最短”,并運用軸對稱的性質(zhì),可以在一條直線上找到一點,使得此點到這條直線同側(cè)兩定點之間的距離之和最短.
這種數(shù)形結(jié)合的思想方法,非常有利于解決一些數(shù)學和實際問題中的最大(�。┲祮栴}.請你嘗試解決一下問題:
(1)在圖1中,拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的最大值是
4
4

(2)在圖2中,相距3km的A、B兩鎮(zhèn)位于河岸(近似看做直線l)的同側(cè),且到河岸的距離AC=1千米,BD=2千米,現(xiàn)要在岸邊建一座水塔,分別直接給兩鎮(zhèn)送水,為使所用水管的長度最短,請你:
①作圖確定水塔的位置;
②求出所需水管的長度(結(jié)果用準確值表示)
(3)已知x+y=6,求
x2+9
+
y2+25
的最小值;
此問題可以通過數(shù)形結(jié)合的方法加以解決,具體步驟如下:
①如圖3中,作線段AB=6,分別過點A、B,作CA⊥AB,DB⊥AB,使得CA=
3
3
,DB=
5
5
;
②在AB上取一點P,可設(shè)AP=
x
x
,BP=
y
y
;
x2+9
+
y2+25
的最小值即為線段
PC
PC
和線段
PD
PD
長度之和的最小值,最小值為
10
10

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科目:初中數(shù)學 來源:1997年全國中考數(shù)學試題匯編《二次函數(shù)》(01)(解析版) 題型:解答題

(1997•內(nèi)江)已知一個二次函數(shù)的圖象為拋物線C,點P(1,-4)、Q(5,-4)、R(3,0)在拋物線C上.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式.
(2)我們知道,與y=kx+b(即kx-y+b=0)可以表示直線一樣,方程x+my+n=0也可以表示一條直線,且對于直線x+my+n=0和拋物線y=ax2+bx+c(a≠0),方程組的解(x,y)作為點的坐標,所確定的點就是直線和拋物線的公共點,如果直線L:x+my+n=0過點M(1,0),且直線L與拋物線C有且只有一個公共點,求相應(yīng)的m,n的值.

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