Question

如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接DB、DP，AE⊥DP于E．
（1）如圖①，若P為AB的中點(diǎn)，則=______；=______；
（2）如圖②，若時(shí)，證明AC=4BF；
（3）如圖③，若P在BA的延長線上，當(dāng)=______時(shí)，．

Answer 1

解：（1）延長AF交BC于M，
∴∠BAM+∠AMB=90°
∵AE⊥DP，
∴∠BAM+∠DPA=90°，
∴∠AMB=∠DPA，
在△ABM≌△DAP中，，
∴△ABM≌△DAP（AAS），
∴AP=BM（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等），
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC∥AD，
∴△MBF∽△ADF，
∴=，
∵點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，
∴AP=BM=AB=AD，
∴===，
∴==，
即=，
又∵AC=BD，
∴=；
故答案為：，；

（2）∵=，
∴==，
即=，
方法同（1），延長AF交BC于M，
則===，
∴==，
即=，
∵正方形的對(duì)角線AC=BD，
∴=，
∴AC=4BF；

（3）延長CB交AF于點(diǎn)M，方法同（1）可得==，
∴=，
∴=，
即=，
∵正方形的對(duì)角線AC=BD，
∴=．
故答案為：．
分析：（1）延長AF交BC于M，證△ABM≌△DAP，得BM=AP，再根據(jù)△MBF∽△ADF對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式==，然后再根據(jù)正方形的邊長相等，對(duì)角線相等進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求解；
（2）先根據(jù)已知條件求出=，然后同（1）的方法作出輔助線即可進(jìn)行證明；
（3）同前兩小題的思路，延長CB交AF于點(diǎn)M，然后同（1）的求解思路進(jìn)行求解計(jì)算．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與相似三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，此類題目往往是后面的小題的解題思路繼續(xù)沿用第（1）小題的思路，所以找準(zhǔn)第（1）小題的求解思路很重要．