Question

如圖，過(guò)圓外一點(diǎn)P作圓的兩條切線(xiàn)PA、PB，A、B為切點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)P作圓的一條割線(xiàn)分別交圓于點(diǎn)C、D，過(guò)點(diǎn)B作PA的平行線(xiàn)分別交直線(xiàn)AC、AD于點(diǎn)E、F．求證：BE=BF．

Answer 1

分析：連接BC、BA、BD．由圓的切線(xiàn)、割線(xiàn)定理、弦切角定理、平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠ABC=∠PAC=∠E，則推出△ABC∽△AEB，得出相關(guān)邊的比，然后可得∠ABF=∠PAB=∠ADB，所以△ABF∽△ADB，得出相關(guān)邊的比，結(jié)合切線(xiàn)定理可得結(jié)論．

解答：證明：如圖，連接BC、BA、BD．所以∠ABC=∠PAC=∠E，則△ABC∽△AEB．
從而，

BE

BC

=

AB

AC

，即BE=

AB•BC

AC

=AB•

BC

AC

①，
∵PA∥EF，PA是圓的切線(xiàn)，
∴∠ABF=∠PAB=∠ADB，
∴△ABF∽△ADB，從而

BF

BD

=

AB

AD

，
即BF=

AB•BD

AD

=AB•

BD

AD

②，
另一方面，又因△PBC∽△PDB，△PCA∽△PAD，
∴

BC

BD

=

PC

PB

，

AC

AD

=

PC

PA

．
∵PA、PB是過(guò)圓外一點(diǎn)P作的圓的兩條切線(xiàn)，
∴PA=PB，
∴

BC

BD

=

AC

AD

，于是

BC

AC

=

BD

AD

③，
∴由式①、②、③即知BE=BF．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)定理、圓的切線(xiàn)、割線(xiàn)定理、弦切角定理、平行線(xiàn)的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵在于根據(jù)弦切角定理、平行線(xiàn)的性質(zhì)求出角的相等關(guān)系，得出相似三角形，求出比例關(guān)系．