Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-4x+2（k-1）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）如果拋物線(xiàn)y=x²-4x+2（k-1）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為整數(shù)，求正整數(shù)k的值；
（3）直線(xiàn)y=x與（2）中的拋物線(xiàn)在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為點(diǎn)C，點(diǎn)P是射線(xiàn)OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)O、點(diǎn)C重合），過(guò)點(diǎn)P作垂直于x軸的直線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M，點(diǎn)Q在直線(xiàn)PC上，距離點(diǎn)P為個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△PMQ的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）若一元二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，那么根的判別式必大于0，據(jù)此求出k的取值范圍．
（2）此題求的是“正整數(shù)”k的值，結(jié)合（1）的結(jié)論很容易得出k的值，代入拋物線(xiàn)的解析式中直接進(jìn)行驗(yàn)證即可（令y=0，求出x的值，判斷x的值是否為整數(shù)）．
（3）首先要求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可得到∠COx的度數(shù)，那么過(guò)Q作PM的垂線(xiàn)后，通過(guò)構(gòu)建的直角三角形，結(jié)合∠COx的度數(shù)可將PQ的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為Q到PM的距離；若以PM為底、Q到PM的距離為高，可表示△PMQ的面積，由此得到關(guān)于S、t的函數(shù)解析式；在求PM的表達(dá)式時(shí)，要注意P、M的位置．
解答：解：（1）由題意得△＞0．∴△=（-4）²-4[2（k-1）]=-8k+24＞0．
∴解得k＜3．

（2）∵k＜3且k為正整數(shù)，∴k=1或2．
當(dāng)k=1時(shí)，y=x²-4x，與x軸交于點(diǎn)（0，0）、（4，0），符合題意；
當(dāng)k=2時(shí)，y=x²-4x+2，與x軸的交點(diǎn)不是整數(shù)點(diǎn)，故舍去．
綜上所述，k=1．

（3）∵
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（5，5）．∴OC與x軸的夾角為45°．
過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥PM于點(diǎn)N，（注：點(diǎn)Q在射線(xiàn)PC上時(shí)，結(jié)果一樣，所以只寫(xiě)一種情況即可）
∴∠NQP=45°，S=PM•NQ．
∵PQ=，∴NQ=1．
∵P（t，t），則M（t，t²-4t），∴PM=|t-（t²-4t）|=|-t²+5t|．
∴S=|-t²+5t|．
∴當(dāng)0＜t＜5時(shí)，S=-t²+t；
當(dāng)t＞5時(shí)，S=t²-t．
點(diǎn)評(píng)：該題的難度不大，主要涉及：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、函數(shù)解析式的確定以及三角形面積的解法等基礎(chǔ)知識(shí)．（3）題中，PM表達(dá)式與t的值有密切的聯(lián)系，因此在解答時(shí)，一定不能漏掉自變量的取值范圍．