Question

10．已知：拋物線y=x²+（m+1）x+$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{4}$（m≠0）．
（1）求此拋物線與x軸的交點個數(shù)；
（2）拋物線恒過定點A，求A點坐標(biāo)；
（3）求證：隨著m的變化，產(chǎn)生的一系列拋物線的頂點都在一條確定的函數(shù)圖象上，求此函數(shù)解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)判別式的值即可判定結(jié)果．
（2）拋物線恒過定點A，意思就是不管m取什么值，x、y的值不發(fā)生變化，即整理后字母m的系數(shù)為0，由此即可解決問題．
（3）利用配方法求出頂點坐標(biāo)，再利用配方法把頂點的縱坐標(biāo)變形即可解決問題．

解答 （1）解：∵△=（m+1）²-4（$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{4}$）=m²，
∵m≠0，
∴△＞0，
∴拋物線與x軸有兩個交點．
（2）解：∵y=x²+（m+1）x+$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{4}$=x²+（x+$\frac{1}{2}$）m+x+$\frac{1}{4}$，
又∵拋物線恒過定點A，
∴x+$\frac{1}{2}$=0，
∴x=-$\frac{1}{2}$，當(dāng)x=-$\frac{1}{2}$時，y=0，
∴定點A坐標(biāo)（-$\frac{1}{2}$，0）．
（3）證明：∵y=x²+（m+1）x+$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{4}$=（x+$\frac{m+1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$m²，
∴頂點為（-$\frac{m+1}{2}$，-$\frac{1}{4}$m²），
∵-$\frac{1}{4}$m²=-$\frac{1}{4}$（m²+2m+1-2m-1）=-（$\frac{m+1}{2}$）²-[-（$\frac{m+1}{2}$）]-$\frac{1}{4}$，
∴頂點在函數(shù)y=-x²-x-$\frac{1}{4}$的函數(shù)圖象上．

點評 本題考查拋物線與x軸的交點，解題的關(guān)鍵是理解恒過定點A的意義，靈活應(yīng)用配方法解決第三個問題，題目有點難度，屬于注意壓軸題．