Question

18．鄭州市北環(huán)彩虹橋在上下班高峰期經(jīng)常堵車，交通管理部門為了解交通擁堵情況，進行了統(tǒng)計分析，橋上的車流速度v（km/h）關(guān)于車流密度x（輛/km）的函數(shù)圖象如圖所示．
（1）請直接寫出v與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在交通高峰時段，為使大橋上的車流速度大于30km/h且小于50km/h，應(yīng)控制大橋上的車流密度在什么范圍內(nèi)？
（3）車流量y（輛/h）是單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，即車流量=車流速度×車流密度，求大橋上車流量的最大值．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式進而得出答案；
（2）由題知：30＜-$\frac{1}{2}$x+90＜50時，解不等式組即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)題意得：y=vx=（-$\frac{1}{2}$x+90）x=-$\frac{1}{2}$x²+90x，化成頂點式y(tǒng)=-$\frac{1}{2}$（x-90）²+8100，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)0＜x＜20時，v=80，
當(dāng)20≤x＜180時，
設(shè)一次函數(shù)表達式是V=kx+b，
把兩點坐標（20，80）（180，0）分別代入，得$\left\{\begin{array}{l}{20k+b=80}\\{180k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=90}\\{\;}\end{array}\right.$，
故V關(guān)于x的一次函數(shù)表達式是v=-$\frac{1}{2}$x+90；

（2）由題知：30＜-$\frac{1}{2}$x+90＜50時，
解得：80＜x＜120．
即車流速度大于30km/h且小于50km/h時，大橋上的車流密度應(yīng)控制在大于80輛/km＜x＜120輛/km；

（3）根據(jù)題意得：y=vx=（-$\frac{1}{2}$x+90）x=-$\frac{1}{2}$x²+90x，
即y=-$\frac{1}{2}$（x-90）²+8100，
故大橋上車流量的最大值是8100輛/h．

點評 此題主要考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)最值求法，得出P與x的函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．