Question

兩塊完全相同的直角三角板ABC和DEF如圖1所示放置，點(diǎn)C、F重合，且BC、DF在一條直線上，其中AC=DF=4，BC=EF=3．固定Rt△ABC不動(dòng)，讓Rt△DEF沿CB向左平移，直到點(diǎn)F和點(diǎn)B重合為止．設(shè)FC=x，兩個(gè)三角形重疊陰影部分的面積為y．
（1）如圖2，求當(dāng)x=

1

2

時(shí)，y的值是多少？
（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到AB上時(shí)，求x、y的值；
（3）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x=

1

2

時(shí)，E在△ABC內(nèi)部，設(shè)DE交AC于G，那么重合部分的面積就是梯形EGCF的面積，可在直角三角形DCG中，根據(jù)∠D的正切值求出CG的長，然后根據(jù)梯形的面積公式即可得出重合部分的面積即y的值．
（2）當(dāng)E在AB上時(shí)，在直角三角形BEF中，根據(jù)∠B的正切值和EF的長求出BF的值，進(jìn)而可求CF即x的值，求y值可仿照（1）的方法進(jìn)行求解．
（3）本題要分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)E在AB左側(cè)（包括E在AB上）時(shí)，重合部分是個(gè)梯形，其面積可參照（1）的方法進(jìn)行求解．
②當(dāng)E在AB右側(cè)時(shí)，重合部分是個(gè)五邊形，可用梯形EGCF的面積-△EHQ的面積（設(shè)EF交AB于Q，ED交AB于H）來求重合部分的面積，據(jù)此可得出y、x的函數(shù)關(guān)系式．

解答：
解：（1）如圖1：AB=DE=5，∵FC=x=

1

2

．∴DC=DF-FC=

7

2

．
∵tanD=

GC

DC

=

EF

DF

=

3

4

，∴GC=

21

8

．
∴y=

1

2

（EF+GC）•FC=

45

32

．

（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AB上時(shí)，如圖2；
∵tanB=

EF

BF

=

AC

BC

=

4

3

，∴BF=

9

4

．
∴x=FC=BC-BF=

3

4

．
∵DC=DF-FC=

13

4

，

GC

DC

=

3

4

；
∴GC=

39

16

．
∴y=

1

2

（EF+GC）•FC=

261

128

．

（3）本題分兩種情況：
①當(dāng)0＜x≤

3

4

時(shí)，如圖3；DC=4-x；
∵tanD=

GC

DC

=

EF

DF

=

3

4

，∴GC=3-

3

4

x．
∴y=

1

2

（EF+GC）•FC=-

3

8

x²+3x．
②當(dāng)

3

4

＜x≤3時(shí)；如圖4；y=S_梯形EFCG-S_△EHQ．
由①知，梯形EFCG的面積為-

3

8

x²+3x．
∵tanB=

QF

BF

=

AC

CB

=

4

3

，BF=3-x，
∴QF=4-

4

3

x．
∴EQ=3-QF=

4

3

x-1．
∵S_△DEF=6，Rt△EHQ∽R(shí)t△EFD．
∴S_△EHQ：S_△EFD=（EQ：ED）²；
∴S_△EHQ=

6

25

（

4

3

x-1）²；
∴y=S_梯形EFCG-S_△EHQ=-

3

8

x²+3x-

6

25

（

4

3

x-1）²=-

481

600

x²+

91

25

x-

6

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圖形面積的求法以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)．注意可用類比的方法求解多個(gè)類似題型．