【題目】如圖所示,直線l:y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B.把△AOB沿y軸翻折,點(diǎn)A落到點(diǎn)C,拋物線過點(diǎn)B、C和D(3,0).
(1)求直線BD和拋物線的解析式.
(2)若BD與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)M,點(diǎn)N在坐標(biāo)軸上,以點(diǎn)N、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△MCD相似,求所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo).
(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使S△PBD=6?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【答案】(1)直線BD的解析式為:y=﹣x+3,拋物線的解析式為:y=(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3;
(2)滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為:(0,0),(﹣3,0)或(0,﹣3);
(3)存在,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,3)或(﹣1,8).
【解析】
試題分析:(1)由待定系數(shù)法求出直線BD和拋物線的解析式;
(2)首先確定△MCD為等腰直角三角形,因?yàn)?/span>△BND與△MCD相似,所以△BND也是等腰直角三角形.如答圖1所示,符合條件的點(diǎn)N有3個(gè);
(3)如答圖2、答圖3所示,解題關(guān)鍵是求出△PBD面積的表達(dá)式,然后根據(jù)S△PBD=6的已知條件,列出一元二次方程求解.
試題解析:(1)∵直線l:y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,
∴A(﹣1,0),B(0,3);
∵把△AOB沿y軸翻折,點(diǎn)A落到點(diǎn)C,∴C(1,0).
設(shè)直線BD的解析式為:y=kx+b,
∵點(diǎn)B(0,3),D(3,0)在直線BD上,
∴,
解得k=﹣1,b=3,
∴直線BD的解析式為:y=﹣x+3.
設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x﹣1)(x﹣3),
∵點(diǎn)B(0,3)在拋物線上,
∴3=a×(﹣1)×(﹣3),
解得:a=1,
∴拋物線的解析式為:y=(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3.
(2)拋物線的解析式為:y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴拋物線的對稱軸為直線x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,﹣1).
直線BD:y=﹣x+3與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)M,令x=2,得y=1,
∴M(2,1).
設(shè)對稱軸與x軸交點(diǎn)為點(diǎn)F,則CF=FD=MF=1,
∴△MCD為等腰直角三角形.
∵以點(diǎn)N、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△MCD相似,
∴△BND為等腰直角三角形.
如答圖1所示:
(I)若BD為斜邊,則易知此時(shí)直角頂點(diǎn)為原點(diǎn)O,
∴N1(0,0);
(II)若BD為直角邊,B為直角頂點(diǎn),則點(diǎn)N在x軸負(fù)半軸上,
∵OB=OD=ON2=3,
∴N2(﹣3,0);
(III)若BD為直角邊,D為直角頂點(diǎn),則點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸上,
∵OB=OD=ON3=3,
∴N3(0,﹣3).
∴滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為:(0,0),(﹣3,0)或(0,﹣3).
(3)方法一:
假設(shè)存在點(diǎn)P,使S△PBD=6,設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m,n).
(I)當(dāng)點(diǎn)P位于直線BD上方時(shí),如答圖2所示:
過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,則PE=n,DE=m﹣3.
S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE=(3+n)m﹣×3×3﹣(m﹣3)n=6,
化簡得:m+n=7 ①,
∵P(m,n)在拋物線上,
∴n=m2﹣4m+3,
代入①式整理得:m2﹣3m﹣4=0,
解得:m1=4,m2=﹣1,
∴n1=3,n2=8,
∴P1(4,3),P2(﹣1,8);
(II)當(dāng)點(diǎn)P位于直線BD下方時(shí),如答圖3所示:
過點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E,則PE=m,OE=﹣n,BE=3﹣n.
S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE=(3+m)(﹣n)+×3×3﹣(3﹣n)m=6,
化簡得:m+n=﹣1 ②,
∵P(m,n)在拋物線上,
∴n=m2﹣4m+3,
代入②式整理得:m2﹣3m+4=0,△=﹣7<0,此方程無解.
故此時(shí)點(diǎn)P不存在.
綜上所述,在拋物線上存在點(diǎn)P,使S△PBD=6,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,3)或(﹣1,8).
方法二:
假設(shè)存在點(diǎn)P,使S△PBD=6,
過點(diǎn)P作直線l平行BD,則l與BD的距離為d,
∵BD==3,
∴S△PBD=BD×d,
∴d=2,
∵BD與y軸夾角為45°,
∴BB′=4,
∴將BD上移或下移4個(gè)單位,
①上移4個(gè)單位,l解析式為:y=﹣x+7,
∵y=x2﹣4x+3,
∴x2﹣3x﹣4=0,
∴x1=4,x2=﹣1,
②下移4個(gè)單位,l解析式為y=﹣x﹣1,
∵y=x2﹣4x+3,
∴x2﹣3x+4=0,△<0,∴此方程無解,
綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,3)或(﹣1,8).
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【題目】如圖,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列條件中不能判定△ABM≌△CDN的是( )
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【題目】計(jì)算6a2﹣5a+3與5a2+2a﹣1的差,結(jié)果正確的是( )
A.a2﹣3a+4
B.a2﹣3a+2
C.a2﹣7a+2
D.a2﹣7a+4
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【題目】下列命題中錯(cuò)誤的是( 。
A. 矩形的兩條對角線相等 B. 等腰梯形的兩條對角線互相垂直
C. 平行四邊形的兩條對角線互相平分 D. 正方形的兩條對角線互相垂直且相等
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【題目】居民區(qū)內(nèi)的“廣場舞”引起媒體關(guān)注,小王想了解本小區(qū)居民對“廣場舞”的看法,進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查,把居民對“廣場舞”的看法分為四個(gè)層次:A.非常贊同;B.贊同但要有時(shí)間限制;C.無所謂;D.不贊同.并將調(diào)查結(jié)果繪制了圖1和圖2兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
請你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題:
(1)求本次被抽查的居民有多少人?
(2)將圖1和圖2補(bǔ)充完整;
(3)估計(jì)該小區(qū)4000名居民中對“廣場舞”的看法表示贊同(包括A層次和B層次)的大約有多少人.
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【題目】下列不等式變形正確的是( )
A.若a>b,則a﹣2>b﹣2
B.若-?a<2,則a<﹣4
C.若a>b,則1﹣2a>1﹣2b
D.若a<b,則ac2<bc2
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【題目】小亮家與姥姥家相距24km,小亮8:00從家出發(fā),騎自行車去姥姥家.媽媽8:30從家出發(fā),乘車沿相同路線去姥姥家.在同一直角坐標(biāo)系中,小亮和媽媽的行進(jìn)路程S(km)與北京時(shí)間t(時(shí))的函數(shù)圖象如圖所示.根據(jù)圖象得到小亮結(jié)論,其中錯(cuò)誤的是( )
A. 小亮騎自行車的平均速度是12km/h
B. 媽媽比小亮提前0.5小時(shí)到達(dá)姥姥家
C. 媽媽在距家12km處追上小亮
D. 9:30媽媽追上小亮
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