（1999•廣州）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點D在弦AC上，DE⊥AB于E．
求證：AD•AC=AE•AB．

【答案】分析：先連接BC，構造相似三角形，△ADE和△ABC，由AB是直徑，可得∠ACB=90°，而DE⊥AB，∠AED=90°，再加上一個公共角，那么兩組對應角相等，兩三角形相似．再有相似三角形的性質可得比例線段，從而得證．
解答：證明：連接BC，（2分）
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，（4分）
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴△DAE∽△BAC，（8分）
∴，（9分）
∴AD•AC=AE•AB．（10分）
點評：本題利用了直徑所對的圓周角是直角、相似三角形的判定和性質等知識．
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（1）Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC=b；
（2）△ABC的角平分線CD和經過點A，C，D的⊙O．（作CD和⊙O不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）

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（1999•廣州）如圖，等邊△ABC的面積為S，⊙O是它的外接圓，點P是的中點．
（1）試判斷過點C所作⊙O的切線與直線AB是否相交，并證明你的結論；
（2）設直線CP與AB相交于點D，過點B作BE⊥CD，垂足為E，證明BE是⊙O的切線，并求△BDE的面積．

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