Question

【題目】把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點(diǎn)C與E重合），點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動(dòng)，在△DEF移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P停止移動(dòng)，△DEF也隨之停止移動(dòng)．DE與AC交于點(diǎn)Q，連接PQ，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）用含t的代數(shù)式表示線段AP和AQ的長(zhǎng)，并寫(xiě)出t的取值范圍；
（2）連接PE，設(shè)四邊形APEQ的面積為y（cm2），試探究y的最大值；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ是等腰三角形．

Answer 1

【答案】
（1）解：AP=2t

∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，

∴∠CQE=45°=∠DEF，

∴CQ=CE=t，

∴AQ=8﹣t，

t的取值范圍是：0≤t≤5；

（2）解：過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸于G，可求得AB=10，SinB= ，PB=10﹣2t，EB=6﹣t，

∴PG=PBSinB= （10﹣2t）

∴y=S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE= =

∴當(dāng) （在0≤t≤5內(nèi)），y有最大值，y最大值= （cm2）

（3）解：若AP=AQ，則有2t=8﹣t解得： （s）

若AP=PQ，如圖①：過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC，則AH=QH= ，PH∥BC

∴△APH∽△ABC，

∴ ，

即 ，

解得： （s）

若AQ=PQ，如圖②：過(guò)點(diǎn)Q作QI⊥AB，則AI=PI= AP=t

∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A，

∴△AQI∽△ABC

∴ 即 ，

解得： （s）

綜上所述，當(dāng) 或 或 時(shí)，△APQ是等腰三角形．

【解析】（1）根據(jù)題意以及直角三角形性質(zhì)表達(dá)出CQ、AQ，從而得出結(jié)論，（2）作PG⊥x軸，將四邊形的面積表示為S△ABC﹣S△BPE﹣S△QCE即可求解，（3）根據(jù)題意以及三角形相似對(duì)邊比例性質(zhì)即可得出結(jié)論．