已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,0為坐標(biāo)原點(diǎn),直線y=x+3與x、y軸分別相交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上,且∠CAO=30°,點(diǎn)D在線段AC的延長(zhǎng)線上,且CD=CO,連接OD、BD,BD交x軸于點(diǎn)E.
(1)求直線AC的解析式;
(2)求證:OB=OD;
(3)圖中有幾對(duì)相似三角形(不添加其他字母和線段)請(qǐng)寫(xiě)出所有的相似三角形,并選擇其中的一對(duì)加以證明.

解:(1)由題意得,A(-3,0),B(0,3),
∵∠CAO=30°,OA=3,
,
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,
,解得
∴直線AC的解析式是

(2)∵CO=CD,∠ACO=90°-30°=60°,
∴∠ODA=30°=∠CAO.
∴OD=OA.
∵OA=OB,
∴OB=OD.

(3)存在4對(duì)相似三角形:△ODC∽△ADO,△BAC∽△DAB∽△AEB,證明如下:
①∵CO=CD,∠ACO=90°-30°=60°,
∴∠COD=∠OAD=30°,
而∠ODC=∠ADO,
∴△ODC∽△ADO,
②∵OB=OD,∠COD=30°,
∴∠ODB=∠OBD=15°,
∴∠ADB=∠CDO+∠ODB=30°+15°=45°,
∴∠ADB=∠ABC=45°,
而∠BAC=∠DAB,
∴△BAC∽△DAB.
分析:(1)依題意可得點(diǎn)A,B的坐標(biāo).易求出OC的長(zhǎng)以及點(diǎn)C的坐標(biāo).設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,把已知坐標(biāo)代入可求出直線AC的解析式.
(2)根據(jù)CO=CD推出OD=OA=OB,故可得OB=OD.
(3)本題考查的是相似三角形的判定.
點(diǎn)評(píng):本題考查的是利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及相似三家形的判定定理,難度中等.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直y=
3
2
x+b
與雙曲線y=
16
x
相交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A,AB、AC分別垂直于x軸、y軸,垂足分別為B、C,已知四邊形ABCD是正方形,求直線所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的解析式以及它與x軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,原點(diǎn)O處有一乒乓球發(fā)射器向空中發(fā)射乒乓球,乒乓球飛行路線是一條拋物線,在地面上落點(diǎn)落在X軸上為點(diǎn)B.有人在線段OB上點(diǎn)C(靠點(diǎn)B一側(cè))豎直向上擺放無(wú)蓋的圓柱形桶,試圖讓乒乓球落入桶內(nèi).已知OB=4米,OC=3米,乒乓球飛行最大高度MN=5米,圓柱形桶的直徑為0.5,高為0.3米(乒乓球的體積和圓柱形桶的厚度忽略不計(jì)).
(1)求乒乓球飛行路線拋物線的解析式;
(2)如果豎直擺放5個(gè)圓柱形桶時(shí),乒乓球能不能落入桶內(nèi)?
(3)當(dāng)豎直擺放圓柱形桶
8,9,10,11或12
8,9,10,11或12
個(gè)時(shí),乒乓球可以落入桶內(nèi)?(直接寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)答案)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知,如圖1,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),直線l1:y=-x+4與坐標(biāo)軸分別相交于點(diǎn)A、B,與直線l2y=
13
x
相交于點(diǎn)C.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)如圖1,平行于y軸的直線x=1交直線l1于點(diǎn)E,交直線l2于點(diǎn)D,平行于y軸的直x=a交直線l1于點(diǎn)M,交直線l2于點(diǎn)N,若MN=2ED,求a的值;
(3)如圖2,點(diǎn)P是第四象限內(nèi)一點(diǎn),且∠BPO=135°,連接AP,探究AP與BP之間的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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(1)求出點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)在這一運(yùn)動(dòng)過(guò)程中, 四邊形OPEM是什么四邊形?請(qǐng)說(shuō)明理由。若
用y表示四邊形OPEM的面積 ,直接寫(xiě)出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及t的
范圍;并求出當(dāng)四邊形OPEM的面積y的最大值?
(3)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在某個(gè)t值,使⊿MPB為等腰三角形?
若有,請(qǐng)求出所有滿足要求的t值.

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(1)求乒乓球飛行路線拋物線的解析式;
(2)如果豎直擺放5個(gè)圓柱形桶時(shí),乒乓球能不能落入桶內(nèi)?
(3)當(dāng)豎直擺放圓柱形桶______個(gè)時(shí),乒乓球可以落入桶內(nèi)?(直接寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)答案)

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