Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC邊為直徑的⊙O交AB于點D，連接OD并延長交CA的延長線于點E，過點D作DF⊥OE交EC于點F．
（1）求證：AF=CF．
（2）若ED=2，sin∠E=，求AD的長．

Answer 1

（1）證法一：連接CD，OC、OD為⊙O的半徑，
且OC⊥EC，DF⊥OE
∴FD、FC為⊙O的兩條切線
．∴FD=FC
∴∠1=∠2．
又∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°
∴∠CDA=180°-90°=90°．
在Rt△CAD中，∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°
又∵∠1=∠2．∠3=∠4．
∴FD=FA
又FD=FC．
∴AF=CF．
證法二：連接OF，證明FD=FC的步驟同證法一．
∵FC⊥OC，F(xiàn)D⊥OD∴
OF為∠COD的平分．
∠5=∠6．
又∵∠5+∠6=∠7+∠B，OB=OD
∴∠7=∠B．
∴2∠5=2∠7
∴∠5=∠7．
∴OF∥BA．
∵O為BC的中點．
∴AF=CF．

（2）解：設(shè)⊙O的半徑為R，在Rt△OCE中，OE=OD+DE=R+2，
sin∠E=，由sin∠E=得R=3
在Rt△EDF中，siN∠E=，ED=2．設(shè)DF=3k，EF=5k，
根據(jù)勾股定理，得 （3k）²+22=（5k）²，
解得k=
∴DF=，EF=∴AC=2AF=2DF=3．
在Rt△ABC中，AB=3
∵AC和ADB分別為⊙O的切線和割線，
∴AC²=AD•AB，
解得AD=．
分析：（1）連接CD，OC、OD為⊙O的半徑，且OC⊥EC，DF⊥OE得到FD、FC為⊙O的兩條切線．然后利用切線的性質(zhì)得到FD=FA，再利用FD=FC即可得到：AF=CF．
（2）設(shè)⊙O的半徑為R，在Rt△OCE中，OE=OD+DE=R+2，在Rt△EDF中，設(shè)DF=3k，EF=5k，根據(jù)勾股定理，得 （3）²+22=（5k）²，解得k，AC和ADB分別為⊙O的切線和割線，利用AC²=AD•AB，求得AD的長即可．
點評：此題考查了切線的判定、全等三角形的性質(zhì)與判定、三角形中位線的性質(zhì)及勾股定理的等知識．解題時要注意：連接過切點的半徑是有關(guān)切線知識的一種常用輔助線的作法．