Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，C是AB延長線上一點，CD與⊙O相切于點E，AD⊥CD，垂足為D．
（1）求證：AE平分∠DAC；
（2）若AB=6，∠ABE=60°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點：切線的性質,扇形面積的計算

專題：

分析：（1）連接OE，可證得OE∥AD，則∠DAE=∠AEO=∠EAO，可得結論；
（2）由條件求得∠AOE=120°，容易求得△AOE和扇形AOE的面積，利用面積差可求得陰影部分的面積．

解答：（1）證明：如圖，連接OE，
∵DC為切線，
∴OE⊥CD，且AD⊥CD，
∴OE∥AD，
∴∠DAE=∠AEO，
∵OE=OA，
∴∠AEO=∠EAO，
∴∠DAE=∠EAO，
即AE平分∠DAC；
（2）解：∵∠ABE=60°，
∴∠AOE=120°，
且AB=6，則OA=OB=BE=3，在Rt△ABE中可求得AE=3

3

，
∴S_扇形AOE=

1

3

π•OA²=3π，S_△AOE=

1

2

S_△ABE=

1

2

×

1

2

AE•BE=

9 3

4

，
∴S_陰影=S_扇形AOE-S_△AOE=3π-

9 3

4

．

點評：本題主要考查切線的性質及扇形面積的計算，掌握切線的性質及扇形的面積公式是解題的關鍵．注意題目中有切點，則連接圓心和切點是常用的輔助線．