Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AE為高，且AE=12，BD=15，AC=20．
（1）求AB+CD的長(zhǎng)；（提示：過點(diǎn)A作AF∥BD）
（2）求證：AC⊥BD．

Answer 1

（1）解：過點(diǎn)A作AF∥BD交CD的延長(zhǎng)線于F，
∵AB∥CD，
∴四邊形ABDF是平行四邊形，
∴DF=AB，AF=BD，
∵AE為高，AE=12，BD=15，AC=20．
∴在Rt△AEF中，EF===9，
在Rt△AEC中，EC===16，
∴AB+CD=DF+CD=CF=25；

（2）證明：∵AF=15，AC=20，CF=25，
∴AF²+AC²=CF²，
∴∠FAC=90°，
∴AF⊥AC，
∵AF∥BD，
∴AC⊥BD．
分析：（1）首先過點(diǎn)A作AF∥BD交CD的延長(zhǎng)線于F，易證得四邊形ABDF是平行四邊形，然后由勾股定理求得EF與EC的長(zhǎng)，即可求得AB+CD的長(zhǎng)；
（2）由AF=15，AC=20，CF=25，利用勾股定理的逆定理即可證得AF⊥AC，繼而可得AC⊥BD．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的作法．