Question

九（下）“幾何回顧”一章中，課本有一習(xí)題：如圖1，正方形ABCD的對角線AC、BD交于點O，OE=OF．求證：∠ACF=∠DBE．
小敏在完成題目的證明后的總結(jié)回顧中，對BE與CF的位置關(guān)系進行了探索：
（1）小敏發(fā)現(xiàn)：在圖1中，CF⊥BE．請你替小敏寫出證明過程．
（2）小敏繼而猜想：如果E在CA的延長線上，而F在DB或BD的延長線上時，CF⊥BE仍然成立．你認(rèn)為小敏的這個猜想是否正確？請你分別在圖2和圖3中，通過作圖進行判斷，并給出證明

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意得出△OEB≌△OFC，從而得出∠OBE=∠OCF，再由∠EOB=90°可得出結(jié)論．
（2）結(jié)合（1）的證明過程可得當(dāng)F在DB的延長線上時，則CF⊥BE仍然成立，而若F在BD的延長線上時，則小敏的猜想不正確．
解答：（1）證明：由題意可證得△OEB≌△OFC，得∠OBE=∠OCF，
由∠EOB=90°，得∠OBE+∠OEB=∠OCF+∠OEB=90°，
從而CF⊥BE．

（2）解：如圖2，若F在DB的延長線上時，則CF⊥BE仍然成立．

證明（略）方法同上，
如圖3，若F在BD的延長線上時，則小敏的猜想不正確．證明如下：
延長EB和FC交于點P，
∵∠PCB是△CFB的一個外角，
∴∠PCB＞∠CBD=45°，同理，∠CBP＞45°，即∠PCB+∠CBP＞90°，（11分）
∴∠P＜90°．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定，有一定的難度，注意在解答下面問題的時候要利用上面問題的結(jié)論，從而使問題簡單化．