Question

（2004•錦州）某鄉(xiāng)薄鐵社廠的王師傅要在長(zhǎng)25cm，寬18cm的薄鐵板上截出一個(gè)最大的圓和兩個(gè)盡可能大的小圓，他先畫(huà)了草圖，但他在求小圓的半徑時(shí)遇到了困難，請(qǐng)你幫助王師傅計(jì)算出這兩個(gè)小圓的半徑．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意：要在薄鐵板上截出一個(gè)最大的圓，需使圓的半徑為矩形的寬的一半，即9．根據(jù)圖示，可得關(guān)于大圓與小圓半徑的關(guān)系，列出關(guān)系式，進(jìn)而可求得小圓半徑．此題的關(guān)鍵在于畫(huà)出關(guān)系圖，寫(xiě)出關(guān)系式．
解答：解：設(shè)⊙O，⊙O₁與矩形的一邊的切點(diǎn)分別為B，C（如圖所示）．
連接OB，O₁C，OO₁，過(guò)O₁作O₁A⊥OB，垂足為A，
由題中條件易知⊙O的直徑為18cm，
于是OB=9cm；
設(shè)⊙O₁的半徑為r，則O₁C=r．
由∠OBC=∠O₁CB=∠O₁AB=90°，
得四邊形AO₁CB是矩形，AB=O₁C=r．
又OO₁=OB+r=9+r，BC=25-9-r，AO₁=BC，
在Rt△OAO₁中，OO₁²=AO²+AO₁²，
即（9+r）²=（9-r）²+（25-9-r）²，
解這個(gè)方程得r₁=4，r₂=64．
∵64＞18，
∴r=64不合題意，取r=4，
即小圓的半徑為4cm；

另解：如圖，連接OO₁、O₁O₂、O₂O，則△OO₁O₂是等腰三角形．
作OA⊥O₁O₂，垂足為A，則O₁A=O₂A．…2分
∵薄鐵板的寬是18cm，
∴大圓的半徑是9cm．設(shè)小圓的半徑為xcm，
則OO₁=9+x，O₁A=O₁O₂=（18-x-x）=9-x，OA=25-9-x，
在Rt△OAO₁中，OO₁²=OA²+O₁A²，即（9+x）²=（9-x）²+（25-9-x）²．…5分
整理，得x²-68x+256=0．解得x₁=4，x₂=64．…8分
∵x₂=64＞9，不合題意，舍去．∴x=4．
答：兩個(gè)小圓的半徑是4cm．…10分
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓與圓外切時(shí)兩圓的位置關(guān)系及圓心距與兩圓半徑間的關(guān)系，解答此類題關(guān)鍵是通過(guò)圖形找到等量關(guān)系．