Question

10．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E為直線BC上一點(diǎn)，且CE=2，連接AE，作EF⊥AE交射線DC于F，求CF的長(zhǎng)為1或3．

Answer 1

分析 首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，分別從當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上與點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上去分析求解即可求得答案．

解答 解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=4，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵CE=2，
∴BE=BC-CE=2，
∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF，
∴AB：EC=BE：CF，
∴4：2=2：CF，
解得：CF=1；
如圖2，若點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BCD=∠ECF=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠CEF=90°，∠CEF+∠F=90°，
∴∠AEB=∠F，
∴△ABE∽△ECF，
∴AB：EC=BE：CF，
∴4：2=6：CF，
解得：CF=3．
綜上所述，CF=1或3．
故答案為：1或3．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)．注意掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．