Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，設(shè)P=BC+CD，四邊形ABCD的面積為S．
（1）試探究S與P之間的關(guān)系，并說明理由；
（2）若四邊形ABCD的面積為12，求BC+CD的值．

Answer 1

分析：（1）由AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，可考慮利用旋轉(zhuǎn)解答．將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，構(gòu)造直角三角形即可計(jì)算出S與P之間的關(guān)系．
（2）將s=12代入S與P之間的關(guān)系式，即可計(jì)算出BC+CD的值．

解答：解：（1）AE⊥BC于E，把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°到△ADF的位置，
∵∠CDA+∠B=180°，AD=AB，
∴∠ADC+∠ADF=180°，即F、D、C在一條直線上，
∴四邊形AECF是正方形，其邊長(zhǎng)為

1

2

P，
∴S=(

1

2

P)2=

1

4

P2．

（2）∵

1

4

P2=12，
∴P=4

3

或P=-4

3

（舍去），即BC+CD=4

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，作AE⊥BC，構(gòu)造直角三角形ABC，進(jìn)而得到正方形AECF是解題的關(guān)鍵．