Question

如圖所示，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD為BC邊上的高，延長(zhǎng)AB到E點(diǎn)，使BE=BD，過(guò)點(diǎn)D、E引直線交AC于點(diǎn)F，請(qǐng)判定AF與FC的數(shù)量關(guān)系，并證明之．

Answer 1

解：AF=FC．理由如下：
∵BE=BD，
∴∠E=∠BDE，
∵∠ABC=∠E+∠BDE=2∠BDE，∠ABC=2∠C，
∴∠C=∠BDE，
又∵∠BDE=∠CDF，
∴∠C=∠CDF，
∴DF=FC，
∵AD為BC邊上的高，
∴∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，
∠C+∠CAD=180°-90°=90°，
∴∠CAD=∠ADF，
∴DF=AF，
∴AF=FC．
分析：根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠E=∠BDE，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠ABC=2∠BDE，從而求出∠C=∠BDE，再求出∠C=∠CDF，然后根據(jù)等角對(duì)等邊求出DF=FC，再根據(jù)等角的余角相等求出∠CAD=∠ADF，根據(jù)等角對(duì)等邊求出DF=AF，即可得到AF=FC．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，等角的余角相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)與判定并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．