Question

【題目】如圖是二次函數(shù)的圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,-4).

（1）求出圖象與軸的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P，使,若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）在y軸上存在一點(diǎn)Q,使得△QMB周長(zhǎng)最小，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（1）A(-1，0)B（3，0）（2）P（0，-3），Q（2，-3），Q（ ，3），Q（，3）（3）Q（0，-3）.

【解析】試題分析：（1）把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，然后令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)P到AB的距離為h，利用三角形的面積列式求出h，再分點(diǎn)P在x軸下方和上方兩種情況把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求解即可；

（3）根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，找出點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接BM′與y軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)Q，利用待定系數(shù)法求出直線BM′的函數(shù)解析式，再令x=0求解即可．

(1)∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(1,4)，

∴二次函數(shù)為y=(x1)24，

令y=0,則(x1)24=0，

解得x1=1,x2=3，

∴A(1,0),B(3,0)；

(2)設(shè)點(diǎn)P到AB的距離為h，

∵S△PAB=34S△MAB，

∴ABh=，

解得h=3，

當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是3，

∴(x1)24=3，

解得x1=0,x2=2，

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,3)或(2,3)，

點(diǎn)P在x軸上方時(shí),點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3,

∴(x1)24=3，

解得x1=+1,x2=+1，

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(+1,3)或(+1,3)，

綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,3),(2,3),( +1,3),( +1,3)；

(3)如圖,取點(diǎn)M(1,4)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M′(1,4)，

連接BM′與y軸的交點(diǎn)即為使得△QMB周長(zhǎng)最小的點(diǎn)Q，

設(shè)直線BM′的解析式為y=kx+b，

則 ，

解得，

∴BM′的解析式為y=x3，

令x=0，則y=3，

所以,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為P(0,3).