Question

在△ABC中，AB=2，BC=1，∠ABC=45°，以AB為一邊作等腰直角三角形ABD，使∠ABD=90°，連接CD，則線段CD的長為________．

Answer 1

或
分析：分①點A、D在BC的兩側，設AD與邊BC相交于點E，根據等腰直角三角形的性質求出AD，再求出BE=DE=AD并得到BE⊥AD，然后求出CE，在Rt△CDE中，利用勾股定理列式計算即可得解；②點A、D在BC的同側，根據等腰直角三角形的性質可得BD=AB，過點D作DE⊥BC交BC的反向延長線于E，判定△BDE是等腰直角三角形，然后求出DE=BE=2，再求出CE，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式計算即可得解．
解答：解：①如圖1，點A、D在BC的兩側，∵△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=AB=×2=4，
∵∠ABC=45°，
∴BE=DE=AD=×4=2，BE⊥AD，
∵BC=1，
∴CE=BE-BC=2-1=1，
在Rt△CDE中，CD===；
②如圖2，點A、D在BC的同側，∵△ABD是等腰直角三角形，
∴BD=AB=2，
過點D作DE⊥BC交BC的反向延長線于E，則△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=BE=×2=2，
∵BC=1，
∴CE=BE+BC=2+1=3，
在Rt△CDE中，CD===，
綜上所述，線段CD的長為或．
故答案為：或．
點評：本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質，難點在于要分情況討論，作出圖形更形象直觀．