Question

如圖，直線y=-x+3與x軸，y軸分別交于B，C兩點(diǎn)，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)C，點(diǎn)A是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，能使△QAC的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在直線BC上是否存在一點(diǎn)P，且s_△PAC：S_△PAB=1：3？若存在，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）直線y=-x+3中，
當(dāng)x=0時(shí)，y=3；當(dāng)y=0時(shí)，x=3；
故C（0，3），B（3，0）．
代入拋物線的解析式中，可得：
，
解得；
∴該拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3，
由于y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
故頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）．

（2）若△QAC的周長(zhǎng)最小，那么QA+QC最��；
由題意知：A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，
所以直線BC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的Q點(diǎn)；
則有：，
解得；
故Q（1，2）．

（3）由于△PAC、△PAB等高，則它們的面積比等于底邊的比，
所以PB=3PC；
設(shè)P（a，-a+3），分三種情況考慮：
①當(dāng)a＜0時(shí)，P點(diǎn)位于BC的延長(zhǎng)線上；
過(guò)P作PM⊥x軸于M，則有：BM=PM=3-a；
∵PM⊥x軸，CO⊥x軸，
∴PM∥CO，即△BCO∽△BPM；
得：=，
∵OC=OB=3，
∴a=-1.5，PM=BM=4.5；
故P（-1.5，4.5）；
②當(dāng)0≤a≤3時(shí)，P點(diǎn)位于線段BC上；
同①可求得點(diǎn)P（）；
③當(dāng)a＞3時(shí)，P點(diǎn)位于CB的延長(zhǎng)線上，此時(shí)PC＞PB，此種情況不成立．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1.5，4.5）或（）．
分析：（1）根據(jù)直線BC的解析式，即可求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入拋物線的解析式中，通過(guò)聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值，從而確定該拋物線的解析式，然后將所得的解析式化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，即可得到該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）由于AC的長(zhǎng)為定值，若△QAC的周長(zhǎng)最小，那么QA+QC的值最��；已知A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，那么所求的點(diǎn)Q必為直線BC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)，已知了直線BC的解析式，聯(lián)立拋物線的對(duì)稱軸方程，即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
（3）由于△PAC、△PAB同高不等底，那么它們的面積比等于底長(zhǎng)的比，即PB=3PC，設(shè)出點(diǎn)P點(diǎn)坐標(biāo)P（a，-a+3），因此：
①當(dāng)P在BC延長(zhǎng)線上，即a＜0時(shí)，過(guò)P作PM⊥x軸于M，易證得△BCO∽△BPM，根據(jù)BC、PB的比例關(guān)系，即可求出PM、BM的值，從而確定P點(diǎn)的坐標(biāo)；
②當(dāng)P在線段BC上，即0＜a＜3時(shí)，解法同上；
③當(dāng)P在CB延長(zhǎng)線上，即a＞3時(shí)，此時(shí)PC＞PB，顯然不符合題意，因此此種情況不成立．
綜合上面三種情況即可求得符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、二次函數(shù)解析式的確定、平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題、相似三角形的判定和性質(zhì)、圖象面積的求法等重要知識(shí)．（3）題中，能夠?qū)⑷�角形的面積關(guān)系，轉(zhuǎn)化為線段的比例關(guān)系，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．