Question

等邊△ABC的邊長為2，P是BC邊上的任一點（與B、C不重合），連接AP，以AP為邊向兩側作等邊△APD和等邊△APE，分別與邊AB、AC交于點M、N（如圖1）．

（1）求證：AM=AN；
（2）設BP=x．
①若BM=，求x的值；
②求四邊形ADPE與△ABC重疊部分的面積S與x之間的函數關系式以及S的最小值；
③連接DE分別與邊AB、AC交于點G、H（如圖2）．當x為何值時，∠BAD=15°？此時，以DG、GH、HE這三條線段為邊構成的三角形是什么特殊三角形，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知條件可以得出AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，∠ADM=∠APN=60°，從而得出∠DAM=∠PAN，可以得出△ADM≌△APN，就可以得出結論．
（2）①由已知條件可以得出△BPM∽△CAP，可以得出，由已知條件可以建立方程求出BP的值．
②四邊形AMPN的面積就是四邊形ADPE與△ABC重疊部分的面積，由△ADM≌△APN，S_△ADM=S_△APN，可以得出重合部分的面積就是△ADP的面積．
③連接PG，若∠DAB=15°，由∠DAP=60°可以得出∠PAG=45°．由已知條件可以得出四邊形ADPE是菱形，就有DO垂直平分AP，得到GP=AG，就有∠PAG=∠APG=45°，得出∠PGA=90°，設BG=t，在Rt△BPG中∠APG=60°，就可以求出BP=2t，PG=t，從而求得t的值，即可以求出結論．以DG、GH、HE這三條線段為邊構成的三角形為直角三角形，由已知條件可知四邊形ADPE為菱形，可以得到∠ADO=∠AEH=30°，根據∠DAB=15°，可以求出∠AGO=45°，∠HAO=15°，∠EAH=45°．設AO=a，則AD=AE=2a，OD=a，得到DG=（-1）a，由∠DAB=15°，可以求出∠DHA=∠DAH=75°，求得GH=（3-）a，HE=2（-1）a，最后由勾股定理的逆定理就可以得出結論．
解答：解：（1）證明：∵△ABC、△APD和△APE是等邊三角形，
∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，∠ADM=∠APN=60°，
∴∠DAM=∠PAN．
在△ADM和△APN中，
∵，

∴△ADM≌△APN，
∴AM=AN．

（2）①∵△ABC、△ADP是等邊三角形，
∴∠B=∠C=∠DAP=∠BAC=60°，
∴∠DAM=∠PAC，
∵∠ADM=∠B，∠DMA=∠BMP，
∴180-∠ADM-∠DMA=180-∠B-∠BMP，
∴∠DAM=∠BPM，
∴∠BPM=∠NAP，
∴△BPM∽△CAP，
∴，
∵BM=，AC=2，CP=2-x，
∴4x²-8x+3=0，
解得x₁=，x₂=．
②∵四邊形AMPN的面積即為四邊形ADPE與△ABC重疊部分的面積．
∵△ADM≌△APN，
∴S_△ADM=S_△APN，
∴S_{四邊形AMPN}=S_△APM+S_△APN=S_△AMP+S_△ADM=S_△ADP．
過點P作PS⊥AB，垂足為S，
在Rt△BPS中，∵∠B=60°，BP=x，
PS=BPsin60°=x，BS=BPcos60°=x，
∵AB=2，
∴AS=AB-BS=2-x，
∴AP²=AS²+PS²==x²-2x+4．
取AP的中點T，連接DT，在等邊三角形ADP中，DT⊥AP，
∴S△ADP=AP．DT=AP×=，
∴S=S四邊形AMPN=S△ADP==（0＜x＜2），
∴當x=1時，S的最小值是．
③連接PG，若∠DAB=15°，
∵∠DAP=60°，
∴∠PAG=45°．
∵△APD和△APE是等邊三角形，
∴四邊形ADPE是菱形，
∴DO垂直平分AP，
∴GP=AG，
∴∠PAG=∠APG=45°，
∴∠PGA=90°．
設BG=t，在Rt△BPG中，∠ABP=60°，
∴BP=2t，PG=t，
∴AG=PG=t，
∴t+t=2，
解得t=-1，
∴BP=2t=2-2．
∴當BP=2-2時，∠BAD=15°．
猜想：以DG、GH、HE這三條線段為邊構成的三角形為直角三角形．
設DE交AP于點O，
∵△APD和△APE是等邊三角形，
∴AD=DP=AP=PE=EA，
∴四邊形ADPE為菱形，
∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=30°．
∵∠DAB=15°，
∴∠GAO=45°，
∴∠AGO=45°，∠HAO=15°，
∴∠EAH=45°．
設AO=a，則AD=AE=2a，GO=AO=a，OD=a．
∴DG=DO-GO=（-1）a．
∵∠DAB=15°，∠BAC=60°，∠ADO=30°，
∴∠DHA=∠DAH=75°．
∴DH=AD=2a，
∴GH=DH-DG=2a-（-1）a=（3-）a．
HE=DE-DH=2DO-DH=2a-2a．
∵DG²+GH²=，
HE²==．
∴DG²+GH²=HE²，
∴以DG、GH、HE這三條線段為邊構成的三角形為直角三角形．
點評：本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質的運用，相似三角形的判定與性質以及勾股定理的運用．本題的綜合性較強在解答時要注意解答問題的突破口，這也是解答問題的關鍵．