【題目】如圖,過(guò)A(1,0)、B(3,0)作x軸的垂線(xiàn),分別交直線(xiàn)y=﹣x+4于C、D兩點(diǎn).拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)O、C、D三點(diǎn).

(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式;

(2)點(diǎn)M為直線(xiàn)OD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)M作x軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)N,問(wèn)是否存在這樣的點(diǎn)M,使得以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形?若存在,求此時(shí)點(diǎn)M的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)若△AOC沿CD方向平移(點(diǎn)C在線(xiàn)段CD上,且不與點(diǎn)D重合),在平移的過(guò)程中△AOC與△OBD重疊部分的面積記為S,試求S的最大值.

【答案】(1)y=-x2+x.(2)存在.點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為:.(3)

【解析】

試題分析:(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式;

(2)由題意,可知MNAC,因?yàn)橐訟、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,則有MN=AC=3.設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x,則求出MN=|x2-4x|;解方程|x2-4x|=3,求出x的值,即點(diǎn)M橫坐標(biāo)的值;

(3)設(shè)水平方向的平移距離為t(0t<3),利用平移性質(zhì)求出S的表達(dá)式:S=-(t-1)2+;當(dāng)t=1時(shí),s有最大值為

試題解析:(1)由題意,可得C(1,3),D(3,1).

拋物線(xiàn)過(guò)原點(diǎn),設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為:y=ax2+bx.

,解得,

拋物線(xiàn)的表達(dá)式為:y=-x2+x.

(2)存在.

設(shè)直線(xiàn)OD解析式為y=kx,將D(3,1)代入,

求得k=,

直線(xiàn)OD解析式為y=x.

設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x,則M(x,x),N(x,-x2+x),

MN=|yM-yN|=|x-(-x2+x)|=|x2-4x|.

由題意,可知MNAC,因?yàn)橐訟、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,則有MN=AC=3.

|x2-4x|=3.

x2-4x=3,整理得:4x2-12x-9=0,

解得:x=或x=;

x2-4x=-3,整理得:4x2-12x+9=0,

解得:x=

存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為:

(3)C(1,3),D(3,1)

易得直線(xiàn)OC的解析式為y=3x,直線(xiàn)OD的解析式為y=x.

如解答圖所示,

設(shè)平移中的三角形為AOC,點(diǎn)C在線(xiàn)段CD上.

設(shè)OC與x軸交于點(diǎn)E,與直線(xiàn)OD交于點(diǎn)P;

設(shè)AC與x軸交于點(diǎn)F,與直線(xiàn)OD交于點(diǎn)Q.

設(shè)水平方向的平移距離為t(0t<3),

則圖中AF=t,F(xiàn)(1+t,0),Q(1+t,+t),C(1+t,3-t).

設(shè)直線(xiàn)OC的解析式為y=3x+b,

將C(1+t,3-t)代入得:b=-4t,

直線(xiàn)OC的解析式為y=3x-4t.

E(t,0).

聯(lián)立y=3x-4t與y=x,解得x=t,

P(t,t).

過(guò)點(diǎn)P作PGx軸于點(diǎn)G,則PG=t.

S=SOFQ-SOEP=OFFQ-OEPG

=(1+t)(+t)-tt

=-(t-1)2+

當(dāng)t=1時(shí),S有最大值為

S的最大值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍,則這個(gè)多邊形是( )

A. 六邊形 B. 七邊形 C. 八邊形 D. 九邊形

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】計(jì)算:a﹣2÷a﹣5=

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn)A是雙曲線(xiàn)在第一象限上的一動(dòng)點(diǎn),連接AO并延長(zhǎng)交另一分支于點(diǎn)B,以AB為斜邊作等腰Rt△ABC,點(diǎn)C在第二象限,隨著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng),點(diǎn)C的位置也不斷的變化,但始終在一函數(shù)圖象上運(yùn)動(dòng),則這個(gè)函數(shù)的解析式為

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】三角形中到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)是三條( )的交點(diǎn)

A.角平分線(xiàn)B.中垂線(xiàn)C.中線(xiàn)D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知關(guān)于x的方程x2-3xm=0的一個(gè)根是2,則它的另一個(gè)根是__________,m的值是__________

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】2016年南京全市完成全社會(huì)固定資產(chǎn)投資約55000000萬(wàn)元,將55000000用科學(xué)記數(shù)法表示為__________

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知AB是O的直徑,點(diǎn)C在O上,過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P,AC=PC,COB=2PCB.

(1)求證:PC是O的切線(xiàn);

(2)求證:BC=AB;

(3)點(diǎn)M是弧AB的中點(diǎn),CM交AB于點(diǎn)N,若AB=4,求MN·MC的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】要得到函數(shù)y2x3的圖象,只需將函數(shù)y2x的圖象(

A.向左平移3個(gè)單位B.向右平移3個(gè)單位

C.向下平移3個(gè)單位D.向上平移3個(gè)單位

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案