Question

【題目】如圖，等邊三角形ABC中，AB= ,AH⊥BC于點(diǎn)H，過點(diǎn)B作BD⊥AB交線段AH的延

長線于點(diǎn)D，連結(jié)CD. 點(diǎn)E為線段AD上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A，D重合)，過點(diǎn)E作EF∥AB交BC于點(diǎn)

F，以EF為直徑作⊙O. 設(shè)AE的長為.

（1）求線段CD的長度.

（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段AH上時(shí)，用含x的代數(shù)式表示EF的長度.

（3） 當(dāng)⊙O與四邊形ABDC的一邊所在直線相切時(shí)，求所有滿足條件的的值.

Answer 1

【答案】(1)2;(2) ;(3) 或或 ;

【解析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知，容易證明≌,

（2）

根據(jù)EF∥AB， 即得到.

(3)分① 當(dāng)⊙O與AC相切于點(diǎn)M時(shí)，②當(dāng)⊙O與AB相切于點(diǎn)P時(shí)，③ 當(dāng)⊙O與CD相切于點(diǎn)K時(shí)，三種情況進(jìn)行討論即可.

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知，

容易證明≌,

（2）

根據(jù)EF∥AB，

即

得到.

（3） ① 當(dāng)⊙O與AC相切于點(diǎn)M時(shí)，如圖①.

,

,

②當(dāng)⊙O與AB相切于點(diǎn)P時(shí)，如圖②.

,

, .

③ 當(dāng)⊙O與CD相切于點(diǎn)K時(shí)，如圖③.

連結(jié)HO.

∵ ∠OHE+∠CDH=30°+60°=90°

∴ HO⊥CD

∵ OK⊥CD

∴ 點(diǎn)H,O,K三點(diǎn)共線.

,

,

綜上所述，x的值為或或.