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【題目】如圖,拋物線y=ax2+6x+cx軸于A,B兩點,交y軸于點C.直線y=x﹣5經過點B,C.

(1)求拋物線的解析式;

(2)過點A的直線交直線BC于點M.

①當AMBC時,過拋物線上一動點P(不與點B,C重合),作直線AM的平行線交直線BC于點Q,若以點A,M,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形,求點P的橫坐標;

②連接AC,當直線AM與直線BC的夾角等于∠ACB2倍時,請直接寫出點M的坐標.

【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣x2+6x﹣5;(2)P點的橫坐標為4;②點M的坐標為(,﹣)或(,﹣).

【解析】(1)利用一次函數解析式確定C(0,-5),B(5,0),然后利用待定系數法求拋物線解析式;

(2)①先解方程-x2+6x-5=0A(1,0),再判斷△OCB為等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°,則△AMB為等腰直角三角形,所以AM=2,接著根據平行四邊形的性質得到PQ=AM=2,PQ⊥BC,作PD⊥x軸交直線BCD,如圖1,利用∠PDQ=45°得到PD=PQ=4,設P(m,-m2+6m-5),則D(m,m-5),討論:當P點在直線BC上方時,PD=-m2+6m-5-(m-5)=4;當P點在直線BC下方時,PD=m-5-(-m2+6m-5),然后分別解方程即可得到P點的橫坐標;

②作AN⊥BCN,NH⊥x軸于H,作AC的垂直平分線交BCM1,交ACE,如圖2,利用等腰三角形的性質和三角形外角性質得到∠AM1B=2∠ACB,再確定N(3,-2),

AC的解析式為y=5x-5,E點坐標為(,-),利用兩直線垂直的問題可設直線EM1的解析式為y=-x+b,把E(,-)代入求出b得到直線EM1的解析式為y=-x-,則解方程組M1點的坐標;作直線BC上作點M1關于N點的對稱點M2,如圖2,利用對稱性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB,設M2(x,x-5),根據中點坐標公式得到3=,然后求出x即可得到M2的坐標,從而得到滿足條件的點M的坐標.

1)當x=0時,y=x5=5,則C0,﹣5),

y=0時,x5=0,解得x=5,則B5,0),

B5,0),C0,﹣5)代入y=ax2+6x+c

,解得

∴拋物線解析式為y=x2+6x5;

2)①解方程﹣x2+6x5=0x1=1,x2=5,則A1,0),

B5,0),C0,﹣5),

OCB為等腰直角三角形,

∴∠OBC=OCB=45°,

AMBC,

∴△AMB為等腰直角三角形,

AM=AB=×4=2,

∵以點AM,PQ為頂點的四邊形是平行四邊形,AMPQ,

PQ=AM=2,PQBC

PDx軸交直線BCD,如圖1,則∠PDQ=45°,

PD=PQ=×2=4,

Pm,﹣m2+6m5),則Dm,m5),

P點在直線BC上方時,

PD=m2+6m5﹣(m5=m2+5m=4,解得m1=1,m2=4

P點在直線BC下方時,

PD=m5﹣(﹣m2+6m5=m25m=4,解得m1=,m2=,

綜上所述,P點的橫坐標為4;

②作ANBCN,NHx軸于H,作AC的垂直平分線交BCM1,交ACE,如圖2,

M1A=M1C,

∴∠ACM1=CAM1,

∴∠AM1B=2ACB,

∵△ANB為等腰直角三角形,

AH=BH=NH=2,

N3,﹣2),

易得AC的解析式為y=5x5E點坐標為(,﹣,

設直線EM1的解析式為y=x+b,

E,﹣)代入得﹣+b=,解得b=,

∴直線EM1的解析式為y=x

解方程組,則M1,﹣);

作直線BC上作點M1關于N點的對稱點M2,如圖2,則∠AM2C=AM1B=2ACB,

M2x,x5),

3=

x=

M2,﹣.

綜上所述,點M的坐標為(,﹣)或(,﹣).

練習冊系列答案
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月份(x)

1月

2月

3月

4月

5月

6月

銷售量(p)

3.9萬臺

4.0萬臺

4.1萬臺

4.2萬臺

4.3萬臺

4.4萬臺

(1)求p關于x的函數關系式;

(2)求該品牌手機在去年哪個月的銷售金額最大?最大是多少萬元?

(3)今年1月份該品牌手機的售價比去年12月份下降了m%,而銷售量也比去年12月份下降了1.5m%.今年2月份,經銷商決定對該手機以1月份價格的“八折”銷售,這樣2月份的銷售量比今年1月份增加了1.5萬臺.若今年2月份這種品牌手機的銷售額為6400萬元,求m的值.

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