Question

如圖，二次函數(shù)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位每秒的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)Q同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度向y軸正方向運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為t秒，點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q同時(shí)停止運(yùn)動．設(shè)PQ交直線AC于點(diǎn)G．
（1）求直線AC的解析式；
（2）設(shè)△PQC的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式；
（3）在y軸上找一點(diǎn)M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接寫出所有滿足條件的M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）過點(diǎn)P作PE⊥AC，垂足為E，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，線段EG的長度是否發(fā)生改變，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直線AC經(jīng)過點(diǎn)A，C，根據(jù)拋物線的解析式面積可求得兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法就可求得AC的解析式；
（2）根據(jù)三角形面積公式即可寫出解析式；
（3）可以分腰和底邊進(jìn)行討論，即可確定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）過G作GH⊥y軸，根據(jù)三角形相似，相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解．
解答：解：（1）y=-x²+2，
x=0時(shí)，y=2，
y=0時(shí)，x=±2，
∴A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
設(shè)直線AC的解析式是y=kx+b，
代入得：，
解得：k=1，b=2，
即直線AC的解析式是y=x+2；

（2）當(dāng)0＜t＜2時(shí)，
OP=（2-t），QC=t，
∴△PQC的面積為：S=（2-t）t=-t²+t，
當(dāng)2＜t≤4時(shí)，
OP=（t-2），QC=t，
∴△PQC的面積為：S=（t-2）t=t²-t，
∴；

（3）當(dāng)AC=CM=BC時(shí)，M的坐標(biāo)是：（0，），（0，-2）；
當(dāng)AM=BM=CM時(shí)，M的坐標(biāo)是：（0，0），（0，）；
一共四個(gè)點(diǎn)，（0，），（0，0），（0，），（0，-2）；

（4）當(dāng)0＜t＜2時(shí)，過G作GH⊥y軸，垂足為H．
由AP=t，可得AE=．
∵GH∥OP
∴即=，解得GH=，
所以GC=GH=．
于是，GE=AC-AE-GC==．
即GE的長度不變．
當(dāng)2＜t≤4時(shí)，過G作GH⊥y軸，垂足為H．
由AP=t，可得AE=．
由即=，
∴GH（2+t）=t（t-2）-（t-2）GH，
∴GH（2+t）+（t-2）GH=t（t-2），
∴2tGH=t（t-2），
解得GH=，
所以GC=GH=．
于是，GE=AC-AE+GC=2-t+=，
即GE的長度不變．
綜合得：當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，線段EG的長度不發(fā)生改變，為定值．
點(diǎn)評：本題屬于一道難度較大的二次函數(shù)題，綜合考查了三角形相似的性質(zhì)，需注意分類討論，全面考慮點(diǎn)M所在位置的各種情況．