Question

如圖，在直角坐標系中，y軸是邊長為2的等邊△BAD的對稱軸，x軸是等腰△BDC的對稱軸．
（1）試求出經過點A、點B，且對稱軸為直線x=1的拋物線的解析式；
（2）把△BDC沿著直線BD翻折后，得到△BDC'．
①問點C'是否在（1）中的拋物線上？
②設BC'交直線x=1于點Q．若點P是（1）中的拋物線上的一個動點，過點P作PT⊥直線x=1，垂足為T，問：在拋物線上是否存在著點P，使得以P、T、Q為頂點的三角形與△QDC'相似？若存在，寫出所有符合上述條件的點P的橫坐標；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出AB兩點的坐標，結合拋物線的對稱軸便可求出拋物線的解析式；
（2）①先求出C′點坐標，將C′點坐標代入拋物線的解析式，即可求得C′在拋物線上；
②仔細閱讀題意結合圖象便可發(fā)現(xiàn)存在點P使得△QDC′∽△PTQ，有四個符合條件的點P．

解答：解：（1）由題意可知A（-1，0）B（0，

3

），
拋物線的對稱軸為直線x=1，則拋物線與x軸的另一個交點為（3，0）
將三點坐標代入y=ax²+bx+c得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c= 3

，
解得

a=-  3 3 b= 2 3 3 c= 3

，
故拋物線的解析式為y=-

3

3

x2+

2 3

3

x+

3

；

（2）①BD=

OB2+OD2

=2，
∵△BCD為等腰三角形，
∴CD=BD=2，
∴C點坐標為（0，-

3

），
把△BDC沿著直線BD翻折后，得到△BDC′．
可求得點C′的坐標為（3，0），
代入拋物線解析式y=-

3

3

x2+

2 3

3

x+

3

符合，
即點C'在拋物線上．
②存在．共有4個點，
它們的橫坐標分別是：-1，2，

-1+ 17

2

，

-1- 17

2

．

點評：本題是二次函數的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和等腰三角形的性質等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數形結合和分類討論等數學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．