Question

等腰直角△ABC和⊙O如圖放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為5．現(xiàn)△ABC以每秒2個(gè)單位的速度向右移動(dòng)，同時(shí)△ABC的邊長(zhǎng)AB、BC又以每秒0.5個(gè)單位沿BA、BC方向增大．

⑴ 當(dāng)△ABC的邊(BC邊除外)與圓第一次相切時(shí)，點(diǎn)B移動(dòng)了多少距離？
⑵ 若在△ABC移動(dòng)的同時(shí)，⊙O也以每秒1個(gè)單位的速度向右移動(dòng)，則△ABC從開(kāi)始移動(dòng)，到它的邊與圓最后一次相切，一共經(jīng)過(guò)了多少時(shí)間？
⑶ 在⑵的條件下，是否存在某一時(shí)刻，△ABC各邊剛好與⊙O都相切？若存在，求出剛好符合條件時(shí)兩個(gè)圖形移動(dòng)了多少時(shí)間？若不存在，能否改變AB、BC沿BA、BC方向的速度，使△ABC各邊剛好與⊙O都相切．

Answer 1

⑴，⑵6秒，（3）若圓能在△ABC的內(nèi)部時(shí)，則存在，4秒；若圓O不能在三角形的內(nèi)部，則不存在，t=解析:
由切線長(zhǎng)定理可知C^’E= C^’D，設(shè)C^’D=x，則C^’E= x，易知C^’F=x
∴x＋x=1  ∴x=－1 ∴CC^’=5－1－(－1)=5－    2分
∴點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為                 3分
∴點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的的距離為                   4分
⑵設(shè)一共經(jīng)過(guò)了t秒，根據(jù)題意得：2t-5=t+1
t =6
答：一共經(jīng)過(guò)了6秒                  6分
⑶∵△ABC與⊙O從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第二次相切時(shí)，2t+1=t+5    t =4        7分
∴從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第二次相切的時(shí)間為4秒， 此時(shí)△ABC移至△A^”B^”C^”處，
A^”B^”=1＋4×=3                                             8分
連接B^”O并延長(zhǎng)交A^”C^”于點(diǎn)P，則B^”P⊥A^”C^”，
且OP=＜1       ∴此時(shí)⊙O與A^”C^”相交           
∴不存在△ABC各邊與⊙O都相切．                                9分
設(shè)AB、BC沿BA、BC方向的速度為t,則（1+4t）×=1        10分
t=                   11分

 
 
 
（1）當(dāng)△ABC第一次與圓相切時(shí)，應(yīng)是AC與圓相切．如圖，△ABC移至△A′B′C′處，A′C′與⊙O切于點(diǎn)E，連OE并延長(zhǎng)，交B′C′′于F．設(shè)⊙O與直線l切于點(diǎn)D，連OD，則OE⊥A′C′，OD⊥直線l．由切線長(zhǎng)定理，以及直角三角形的性質(zhì)可求得CD的值，進(jìn)而求得CC′的值，從而求得點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，也就有了點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，點(diǎn)B移動(dòng)的距離也就可求得了．
（2）△ABC與⊙O從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到最后一次相切時(shí)，應(yīng)為AB與圓相切，路程差為6，速度差為1，故從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到最后一次相切的時(shí)間為6秒．
（3）若圓能在△ABC的內(nèi)部時(shí)，則存在；若圓O不能在三角形的內(nèi)部，則不存在；即求在（2）條件下，AC與圓的位置關(guān)系即可．