Question

如圖，已知△ABC、△DEB均為等腰直角三角形，∠ACB=∠EDB=90°，點E在邊AC上，CB、ED交于點F．試說明：（1）△ABE∽△CBD；（2）CD∥AB．

Answer 1

分析：（1）△ABC、△DEB均為等腰直角三角形，∠ACB=∠EDB=90°，可得出∠ABE和∠CBD相等，又

EB

BD

=

AB

BC

=

2

2

，根據(jù)相似三角形的判定SAS即可證明；
（2）利用BDCE四點共圓，及△ABC、△DEB為等腰直角三角形，先證明∠CDB+∠ABD=180°，再根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行進行證明．

解答：證明：（1）△ABC、△DEB均為等腰直角三角形，∠ACB=∠EDB=90°，
∴∠ABE=∠CBD，

EB

BD

=

AB

BC

=

2

2

，
∴△ABE∽△CBD；

（2）∵∠ACB=∠EDB=90°
∴點B、D、C、E四點共圓，
∠CDE=∠CBE，∠CBD=∠ABE；
∵△ABC、△DEB為等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠EBD=45°，
∠ABC=∠ABE+∠EBC，
∠EBD=∠EBC+∠CBD，
得，∠CBD=∠ABE，
又∵∠CBD=∠ABE，
∴∠CBD+∠EBC=∠ABE+∠EBC=45°，
∴∠CDB+∠ABD=180°，
∴CD∥AB．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)及等腰直角三角形的知識，有一定難度，注意這些知識的靈活綜合運用．