Question

4．如圖，在平面直角坐標系xOy中，⊙A切y軸于點B，且點A在反比例函數(shù)y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$（x＞0）的圖象上，連接OA交⊙A于點C，且點C為OA中點，則圖中陰影部分的面積為（　�。�

• A． 4$\sqrt{3}$-$\frac{π}{3}$
• B． 4$\sqrt{3}-\frac{2π}{3}$
• C． 2$\sqrt{3}-\frac{π}{3}$
• D． 2$\sqrt{3}-\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 連接AB，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出S_△AOB=2$\sqrt{3}$，根據(jù)點C為OA中點，得出AB=$\frac{1}{2}$OA，即可求得∠OAB=60°，根據(jù)面積求得AB的長，然后求得扇形的面積，即可求得陰影的面積．

解答 解：連接AB，BC，
∵點A在反比例函數(shù)y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$OB•AB=2$\sqrt{3}$，
∵點C為OA中點，
∴BC=$\frac{1}{2}$OA=AC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠OAB=60°，
∴$\frac{OB}{AB}$=tan60°=$\sqrt{3}$，
∴OB=$\sqrt{3}$AB，
∴$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$AB•AB=2$\sqrt{3}$，
∴AB=2，
∴S_扇形=$\frac{60π•A{B}^{2}}{360}$=$\frac{60π•{2}^{2}}{360}$=$\frac{2π}{3}$，
∴S_陰影=S_△AOB-S_扇形=2$\sqrt{3}$-$\frac{2π}{3}$，
故選D．

點評 本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，直角三角形斜邊中線的性質，等邊三角形的判定和性質以及扇形的面積等，作出輔助線構建等邊三角形是解題的關鍵．