如圖所示,已知直線L過點A(0,1)和B(1,0),P是x軸正半軸上的動點,OP的垂直平分線交L于點Q,交x軸于點M.
(1)直接寫出直線L的解析式;
(2)設(shè)OP=t,△OPQ的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;并求出當0<t<2時,S的最大值;
(3)直線L1過點A且與x軸平行,問在L1上是否存在點C,使得△CPQ是以Q為直角頂點的等腰直角精英家教網(wǎng)三角形?若存在,求出點C的坐標,并證明;若不存在,請說明理由.
分析:(1)已知直線L過A,B兩點,可將兩點的坐標代入直線的解析式中,用待定系數(shù)法求出直線L的解析式;
(2)求三角形OPQ的面積,就需知道底邊OP和高QM的長,已知了OP為t,關(guān)鍵是求出QM的長.已知了QM垂直平分OP,那么OM=
1
2
t,然后要分情況討論:
①當OM<OB時,即0<t<2時,BM=OB-OM,然后在等腰直角三角形BQM中,即可得出QM=BM,由此可根據(jù)三角形的面積公式得出S與t的函數(shù)關(guān)系式.
②當OM>OB時,即當t≥2時,BM=OM-OB,然后根據(jù)①的方法即可得出S與t的函數(shù)關(guān)系式.
然后可根據(jù)0<t<2時的函數(shù)的性質(zhì)求出S的最大值;
(3)如果存在這樣的點C,那么CQ=QP=OQ,因此C,O就關(guān)于直線BL對稱,因此C的坐標應(yīng)該是(1,1).那么只需證明CQ⊥PQ即可.分三種情況進行討論.
①當Q在線段AB上(Q,B不重合),且P在線段OB上時.要證∠CQP=90°,那么在四邊形CQPB中,就需先證出∠QCB與∠QPB互補,由于∠QPB與∠QPO互補,而∠QPO=∠QOP,因此只需證∠QCB=∠QOB即可,根據(jù)折疊的性質(zhì),這兩個角相等,由此可得證.
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②當Q在線段AB上,P在OB的延長線上時,根據(jù)①已得出∠QPB=∠QCB,那么這兩個角都加上一個相等的對頂角后即可得出∠CQP=∠CBP=90度.
③當Q與B重合時,很顯然,三角形CQP應(yīng)該是個等腰直角三角形.
綜上所述即可得出符合條件C點的坐標.
解答:解:由題意得
(1)y=1-x;精英家教網(wǎng)

(2)∵OP=t,
∴Q點的橫坐標為
1
2
t
,
①當0<
1
2
t<1
,即0<t<2時,QM=1-
1
2
t
,
∴S△OPQ=
1
2
t(1-
1
2
t).
②當t≥2時,QM=|1-
1
2
t|=
1
2
t-1,
∴S△OPQ=
1
2
t(
1
2
t-1).
S=
1
2
t(1-
1
2
t),0<t<2
1
2
t(
1
2
t-1),t≥2

當0<
1
2
t<1,即0<t<2時,S=
1
2
t(1-
1
2
t)=-
1
4
(t-1)2+
1
4
,
∴當t=1時,S有最大值
1
4
;
精英家教網(wǎng)

(3)由OA=OB=1,
所以△OAB是等腰直角三角形,
若在L1上存在點C,使得△CPQ是以Q為直角頂點的等腰直角三角形,
則PQ=QC,
所以O(shè)Q=QC,又L1∥x軸,則C,O兩點關(guān)于直線L對稱,
所以AC=OA=1,得C(1,1).下面證∠PQC=90度.連CB,則四邊形OACB是正方形.
①當點P在線段OB上,Q在線段AB上(Q與B、C不重合)時,如圖-1.
由對稱性,得∠BCQ=∠QOP,∠QPO=∠QOP,
∴∠QPB+∠QCB=∠QPB+∠QPO=180°,
∴∠PQC=360°-(∠QPB+∠QCB+∠PBC)=90度.
②當點P在線段OB的延長線上,Q在線段AB上時,如圖-2,如圖-3
∵∠QPB=∠QCB,∠1=∠2,
∴∠PQC=∠PBC=90度.
③當點Q與點B重合時,顯然∠PQC=90度.
綜合①②③,∠PQC=90度.
∴在L1上存在點C(1,1),使得△CPQ是以Q為直角頂點的等腰直角三角形.
點評:本題結(jié)合了三角形的相關(guān)知識考查了一次函數(shù)及二次函數(shù)的應(yīng)用,要注意的是(2)中為保證線段的長度不為負數(shù)要分情況進行求解.(3)中由于Q,P點的位置不確定,因此要分類進行討論不要漏解.
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69
36
分.

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(1)當直線AB的位置正好使得△ACD≌△CBE時,求A點的坐標及直線AB的解析式.
(2)若S四邊形ODCE=S△CDF,當直線AB的位置正好使得FC⊥AB時,求A點的坐標及BC的長.
(3)在(2)成立的前提下,將△FOG延y軸對折得△F′O′G′(對折后F、O、G的對應(yīng)點分別為F′、O′、G′),將△F′O′G′沿x軸正方向精英家教網(wǎng)平移,設(shè)平移過程中△F′O′G′與四邊形ODCE重疊部分面積為y,OO′的長為x(0≤x≤1),求y與x的函數(shù)關(guān)系式.

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1
2
x
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k
x
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